Quelltext der Seite Lösung einer Differentialgleichung

=Die Lösung einer Differentialgleichung=
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Aufgabe: In einen großen Kessel (größe ist zu vernachlässigen) werden kontinuierlich 20 Liter Wasser pro Stunde zugeführt. In dem Kochenden Kessel verdunsten allerdings pro stunde immer genau 10 Prozent, des Gesamtinhaltes.
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Dazu lässt sich eine Änderungsrate, die wie folgt lautet aufstellen: <br>
<math>f(t)=20-011*F(t)</math> <br>
Die Zwanzig Liter sind in diesem Fall ein konstanter wert, der addiert wird mit der Zu-/Abnahme, die von dem Gesamtwert F(t) abhängig ist.<br>
Nun haben wir eine Formel, die die Änderung in Abhängigkeit, der Gesamtmenge angibt. Um die Funktion F(t) herauszufinden, müssen wir also die Ableitung Integrieren. <br>
Zunächst wird Dazu die gleichung etwas umgeformt.<br>
<math>f(t)=0,1(200-F(t))</math> <br>
<math>\frac{f(t)}{200-F(t)}=0,1</math> <br>
<math>\frac{-f(t)}{200-F(t)}=-0,1</math> <br>
In diesem Fall liegt ein Bruch vor, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners enthält, was der Ableitung einer Logarythmusfunktion entspricht.<br>
der Term lässt sich also mit einer Logarythmusfunktion aufleiten.<br>
<math>log(200-F(t))=-0,1t+c</math> <br>
<math>200-F(t)=e^{-0,1t+c}</math> <br>
<math>-F(t)=e^{-0,1t+c}-200</math> <br>
<math>F(t)=200-e^{-0,1t+c}</math> <br>
Den Faktor <math>e^c</math> kann man auch als konstanten Faktor <math>c_2=e^c</math> vor die e-Funktion schreiben. <br>
<math>F(t)=200-c_2*e^{-0,1t}</math> <br>
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Allgemeiner Formuliert lautet also die Lösung dieser DGL: <br>
<math>F(t)=S-S_0*e^{-kt}</math> <br>
Diese Formel kann allgemein für das <b>beschränkte Wachstum</b> verwendet werden.