Quelltext der Seite Textaufgaben zu quadratischen Funktionen

Bei Textaufgaben zu quadratischen Funktionen bearbeitet man Probleme die auf eine quadratische Gleichung führen. Die Informationen werden dabei aus einem meist knappen Text entnommen.



== Vorgehensweise ==

=== Aufgabenstellung ===
Die Aufgabenstellung beschreibt einen mathematischen Sachverhalt, der durch eine Zeichnung ergänzt sein kann.

=== Bedingungen ===
Die Bedingungen kann man nach aufmerksamem Lesen aus der Aufgabenstellung und, falls Zeichnung vorhanden, auch aus dieser entnehmen. 

==== Skizze zeichnen ====
Der Sachverhalt wird anhand einer Skizze dargestellt. Der Ursprungszustand und der veränderte Zustand müssen angegeben werden. Da es sich um eine Skizze handelt, muss der Sachverhalt nicht maßstabsgetreu wiedergegeben werden.

==== Beschriftung der Skizze ====
Als erstes wird das gesuchte "x" benannt und in der Skizze kenntlich gemacht.<br />
Daraufhin werden die aus dem Text entnehmbaren Informationen in die Skizze übertragen. Wichtige unbekannte Größen werden mit Variablen (a,b,c...) gekennzeichnet. Bereits verwendete Variablen (wie z.B. x) dürfen für keine andere Strecke ungleich der schon zugeordneten Strecke verwendet werden.

==== Bedingungen festlegen ====
Die bisher in der Skizze bildlich veranschaulichten Bedingungen müssen nun als mathematische Gleichungen notiert werden.


=== Gleichung ===

==== Gleichung aufstellen ====
Die als Gleichungen notierten Bedingungen müssen ineinander eingesetzt werden. Dabei versucht man so zu ersetzen, dass zum Schluss eine gleichung herauskommt, in der keine andere Variable als das gesuchte ''x'' vorkommt.

==== Gleichung lösen ====
Die gefundene Gleichung muss im folgenden gelöst werden.

==== Lösungsmenge bestimmen ====


=== Probe ===

==== Probe der Gleichung ====

==== Probe der Lösung in Bezug auf Textaufgabe ====


=== Ergebnis ===



== Beispiel ==

=== Aufgabenstellung ===
Verlängert man die eine Seite eines Quadrats um 13cm und verkürzt gleichzeitig die andere Seite um 4cm, so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 573cm<sup>2</sup>.


=== Bedingungen ===
Die Bedingungen kann man nach aufmerksamem Lesen aus der Aufgabenstellung entnehmen.

==== Skizze zeichnen ====
Wichtige Informationen aus der Aufgaben stellung:
<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">
'''''Verlängert''''' man die eine Seite eines <span style="background:#FF6347">'''Quadrats'''</span> um 13cm und '''''verkürzt''''' gleichzeitig die andere Seite um 4cm, so entsteht ein <span style="background:#FFF68F">'''Rechteck'''</span> mit einem Flächeninhalt von 573cm<sup>2</sup>.
</blockquote>
[[Bild:Skizze_des_gegebenen_Sachverhalts.jpg|thumb|700px]]
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Zuerst skizziert man das Quadrat (rot). Der Aufgabenstellung nach wird darüber ein Rechteck (gelb) mit einer verlängerten und einer verkürzten Seite gezeichnet.<br />
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==== Beschriftung der Skizze ====
Wichtige Informationen aus der Aufgabenstellung:
<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">
'''Verlängert''' man die eine Seite eines Quadrats um '''13cm''' und '''''verkürzt''''' gleichzeitig die andere Seite um '''''4cm''''', so entsteht ein Rechteck mit einem Flächeninhalt von 573cm<sup>2</sup>.
</blockquote>

[[Bild:Skizze des gegebenen Sachverhalts mit Beschr..jpg|thumb|700px]]
<br />
<br />

*Als erstes wird das gesuchte <span style="color: red">'''''x'''''</span> bestimmt und kenntlich gemacht: die Seitenlänge des Quadrats.
<br />
*Die um 4cm verkürzte Seite ''x'' wird mit der Variablen ''a'' gekennzeichnet.
*Die um 13cm verlängerte Seite ''x'' wird mit der Variablen ''b'' gekennzeichnet.
::(Variablen [a,b,c...] sind frei wählbar, die bereits verwendete Variable ''x'' darf jedoch für keine andere Strecke ungleich ''x'' erneut verwendet werden.)
<br />
*Die beiden Variablen ''a'' und ''b'' stellen nun die Seiten des neuen Rechtecks ''A'' dar.<br />
<br />
<br />

==== Bedingungen festlegen ====
<br />
*Aus diesen Bedingungen ergibt sich:<br />
<br />
<big>'''I.'''</big>  [[Bild:Gl.1|150px]]<br />
<br />
<big>'''II.'''</big>  [[Bild:Gl.2|150px]]<br />
<br />
<big>'''III.'''</big>  [[Bild:Gl.3|150px]]<br />
<br />
<br />
Wichtige Informationen aus der Aufgabenstellung:
<blockquote style="border: 1px solid blue; padding: 2em;">
Verlängert man die eine Seite eines Quadrats um 13cm und verkürzt gleichzeitig die andere Seite um 4cm, so entsteht ein '''Rechteck''' mit einem Flächeninhalt von '''573cm<sup>2</sup>'''.
</blockquote>
<br />
*Aus der Aufgabenstellung lässt sich die Fläche von A (Rechteck)ableiten:
<br />
<big>'''IV.'''</big>  [[Bild:Gl.4|150px]]<br />
<br />


=== Gleichung ===

==== Gleichung aufstellen ====
<br />
Nun können die bestehenden Gleichungen ineinander eingesetzt weden:
<br />
<br />
<br />
*Gleichung <big>'''I.'''</big> in Gleichung <big>'''IV.'''</big>:
<br />
[[Bild:Gleichung 5.jpg|480px]]   <big>'''V.'''</big>
<br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow</math> Resultat: Gleichung <big>'''V.'''</big>
:Diese Gleichung wird im nächsten Schritt direkt weiter verwendet.
<br />
<br />
<br />
*Gleichungen <big>'''II.'''</big> und <big>'''III.'''</big> in Gleichung <big>'''V.'''</big>:
<br />
[[Bild:Gleichung 6.jpg|430px]]
<br />
<br />
<br />
<math>\rightarrow</math> Resultat: Gleichung <big>'''VI.'''</big>
:Dies ist die '''gesuchte Gleichung'''.
<br />
<br />


==== Gleichung lösen ====
<br />
*Die gefundene Gleichung muss im Folgenden gelöst werden.<br />


<blockquote style="border:3px solid #0000DD; background-color:#DDDDFF; padding: 2em;">

<blockquote style="border:3px solid #0000DD; background-color:#FFFFFF; padding: 2em;">

<math>\begin{matrix}
(x-4)(x+13)& = &573\\\\
x^2+13x-4x-52& = &573\\\\
x^2+9x-52& = &573 &&|\,quadratische\,Erg\ddot anzung\\\\
x^2+9x+20,25-20,25-52& = &573 &&|\,binomische\,Formel\\\\
(x+4,5)^2-20,25-52& = &573\\\\
(x+4,5)^2-72,25& = &573 &&|+72,25\\\\
(x+4,5)^2& = &645,25 &&|\sqrt{}\\\\
x_1+4,5=\sqrt{645,25}& v &x_2+4,5=-\sqrt{645,25} &&|-4,5\\\\
x_1=-4,5+\sqrt{645,25}& v &x_2=-4,5-\sqrt{645,25}
\end{matrix}</math><br />

</blockquote>

'''Ausführliche Erläuterung:'''<br />

*Zeile 1: Klammern auflösen
*Zeile 2: zusammenfassen
*Zeile 3: quadratische Ergänzung
*Zeile 4: binomische Formel
*Zeile 5: zusammenfassen
*Zeile 6: (+ 72,25)
*Zeile 7: Wurzel ziehen
*Zeile 8: (- 4,5)

</blockquote>
<br />
<br />


==== Lösungsmenge bestimmen ====
<br />
<math>\mathbb L={-4.5-\sqrt{645.25};-4.5+\sqrt{645.25}}</math>
<br />
<br />
=== Probe ===

==== Probe der Gleichung ====
<br />
*Die beiden Werte werden nacheinander in die zu lösende Gleichung eingestzt.<br />
<br />
<blockquote style="border:3px solid #0000DD; background-color:#DDDDFF; padding: 2em;">

<blockquote style="border:3px solid #0000DD; background-color:#FFFFFF; padding: 2em;">
<math>\begin{matrix}
&((-4,5-\sqrt{645.25})-4)((-4.5-\sqrt{645.25})+13))\\
=&573
\end{matrix}</math>
</blockquote>

</blockquote>
<br />
<blockquote style="border:3px solid #0000DD; background-color:#DDDDFF; padding: 2em;">

<blockquote style="border:3px solid #0000DD; background-color:#FFFFFF; padding: 2em;">
<math>\begin{matrix}
&((-4,5+\sqrt{645.25})-4)((-4.5+\sqrt{645.25})+13))\\
=&573
\end{matrix}</math>
</blockquote>

</blockquote>


==== Probe der Lösung in Bezug auf Textaufgabe ====

=== Ergebnis ===