Quelltext der Seite Kurvendiskussion.

== Definitionsbereich ==


== Symmetrie ==

=== Punktsymmetrie===
<math>f\!(-x)=-f(x)</math>

Alle Exponenten der Funktion sind '''<u>ungerade</u>'''.

===Achsensymmetrie===
<math>f\!(-x)=f(x)</math>

Alle Exponenten der Funktion sind '''<u>gerade</u>'''.


Funktionen mit '''<u>geraden und ungeraden</u>''' Exponenten weisen <u>'''keine'''</u> Symmetrie auf.

== Nullstellen ==

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

<math> f\!(x)=0 </math>

== Ableitung ==

'''1. Ableitung''' <math>f\!\,'(x)</math><br />

<math>f\!\,'(x_0)</math> gibt die Steigung m im Punkt <math>x_0\!</math> an.


'''2. Ableitung''' <math>f\!\,''(x)</math><br />

<math>f\!\,''(x_0)</math> gibt die Krümmung von <math>x_0\!</math> an. <br /><br />
Bei '''<u>positiven Werten</u>''' handelt es sich dabei um eine '''<u>Rechtskrümmung</u>''', bei '''<u>negativen Werten</u>''', um eine '''<u>Linkskrümmung</u>'''.


'''3. Ableitung''' <math>f\!\,'''(x)</math>


siehe dazu [[Ableitungsregeln.]]

== Extrempunkte ==

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die '''notwendige Bedingung''' <math>f\!\,'(x)=0</math>


Die erhaltenen X-Werte setzt man in der '''hinreichenden Bedingung''' in die '''zweite Ableitung''' ein. <math>\Rightarrow</math>
<br /><br /><math>f\!\,''(x)>0</math> hierbei handelt es sich um eine '''<u>Linkskrümmung</u>''', also um ein '''<u>Minimum</u>''' '''(Tiefpunkt)'''.
<br /><br />oder<br />
<br />
<math>f\!\,''(x)<0</math> hierbei handelt es sich um eine '''<u>Rechtskrümmung</u>''', also um ein '''<u>Maximum</u>''' '''(Hochpunkt)'''.
<br /><br /><br />
Setzt man nun die x-Werte in die Funktion <math>\!f(x)</math> ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

== Wendepunkte ==

In einem '''Wendepunkt''' wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die '''zweite Ableitung''' in diesem Punkt '''= 0'''.

<br />'''Notwedige Bedingung'''

<math>f\!\,''(x)=0</math>

<br /><br />Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die '''hinreichende Bedingung''' erfüllt sein.

<br />'''Hinreichende Bedingung'''

<math>f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0</math>

<br />Setzt man nun die x-Werte in die Funktion <math>\!f(x)</math> ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)

<br />
=== Sattelpunkt ===

== Grenzverhalten ==

Der Verlauf des Graphen bei '''<u>unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten</u>''' wird durch das Grenzverhalten beschrieben.


<math>\lim_{x \to \infty}f(x)</math>



<math>\lim_{x \to -\infty}f(x)</math>


[[Kategorie:Kurvendiskussion]]