Quelltext der Seite Schnitte von Geraden und Ebenen.

== Gegenseitige Lage von zwei Geraden ==


Für zwei Geraden im Raum sind '''4 Fälle''' möglich:

Sie sind '''parallel''', sie sind '''identisch''', sie '''schneiden''' oder sie sind '''windschief'''.

Durch die '''Richtungsvektoren''' kann man erkennen, ob die Geraden parallel sind oder nicht. Im Weiteren untersucht man dann die '''Schnittpunkte''' der Geraden.

1. Fall: g<math>\|</math>h

 a) Stützvektor von g liegt nicht auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind parallel ([[#Beispiel 1.1|Beispiel 1.1]])<br />
 b) Stützvektor von g liegt auf h <math>\Rightarrow</math> g und h sind identisch ([[#Beispiel 1.2|Beispiel 1.2]])

2. Fall: g und h sind nicht parallel

 a) Das LGS hat eine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h schneiden sich ([[#Beispiel 1.3|Beispiel 1.3]])<br />
 b) Das LGS hat keine Lösung <math>\Rightarrow</math> g und h sind windschief ([[#Beispiel 1.4|Beispiel 1.4]])

=== Beispiel 1.1 ===
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h<br />
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math>

'''Lösung:'''

Der Richtungsverktor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 1. Fall

Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.<br />
:<math>\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ -9 \end{pmatrix}</math><br />
Daraus folgt s =<math>\frac{1}{3}</math>
Setzt man s wieder ein, folgt daraus -3<math>\ne</math>1 + <math>\frac{1}{3}</math><math>\cdot</math>(-3)
Somit liegt der Stützvektor nicht auf h und die Geraden sind damit '''parallel'''.

=== Beispiel 1.2 ===
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.<br />
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}</math>

'''Lösung:'''

Der Richtungsverktor von h ist das Doppelte des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 1. Fall

Man setzt nun den Stützvektor von g gleich der Geraden h.<br />
:<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}</math>=<math>\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 5 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix}</math><br />
Daraus folgt s = 1
Setzt man s wieder ein, folgt daraus 3=7-4 <math>\land</math> -1=5-6
Somit liegt der Stützvektor auf h und die Geraden sind damit '''identisch'''.

=== Beispiel 1.3 ===
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.<br />
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math>

'''Lösung:'''

Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 2. Fall<br />

Man setzt nun die beiden Geraden gleich.<br />
:<math>\begin{pmatrix} 9 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}</math><br />

Daraus ergibt sich das LGS:
:9+3r = 7+ s<br />
:  2r = -2+ s<br />
:6+ r = 2+2s<br />

Als '''einzige''' Lösung ergibt sich r = 0; s = 2<br />
Somit '''schneiden sich''' die Geraden g und h. Will man den Schnittpunkt ausrechenen, muss man s und r in eine der Geraden einsetzen.<br />
:Mit r = 0 und s = 2 ergibt sich der '''Schnittpunkt''' S(9|0|6)

=== Beispiel 1.4 ===
Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.<br />
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  h: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>

'''Lösung:'''

Der Richtungsverktor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g <math>\Rightarrow</math> 2. Fall<br />

Man setzt nun die beiden Geraden gleich.<br />
:<math>\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  = <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>

Daraus ergibt sich das LGS:
:2+2r = -s<br />
:5+4r = 1<br />
:4+3r = 3+2s<br />

Dieses LGS hat '''keine''' Lösung, somit sind die Geraden '''windschief'''.

== '''Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene''' ==
 

Für die gegenseitige Lage einer Gerade g und einer Ebene E sind '''3 Fälle''' Möglich:<br />

 1) g und E schneiden sich
 2) g und E sind parallel
 3) g liegt in E

Ist die Ebene E durch eine '''Koordinatengleichung''' gegeben, erhält man aus dieser durch Einsetzen von x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> und x<sub>3</sub> aus der Geradengleichung eine Gleichung für den Parameter.<br />
Die verschiedenen Lagen von g und E ergeben sich, je nachdem, ob diese Gleichung<br />

:1) genau '''eine Lösung''' ([[#Beispiel 2.1|Beispiel 2.1]])
:2) '''keine Lösung''' ([[#Beispiel 2.2|Beispiel 2.2]])
:3) '''unendlich viele Lösungen''' hat ([[#Beispiel 2.3|Beispiel 2.3]])

=== Beispiel 2.1 ===
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.<br />
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix}</math>    E: -3x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> - 4x<sub>3</sub> = 6.

'''Lösung:'''

Man setzt nun x<sub>1</sub> = 1 - 6r, x<sub>2</sub> = 2r und x<sub>3</sub> = 1 - 8r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:<br />
-3(1 - 6r) + 2r - 4(1 - 8t) = 6<br />
<math>\Rightarrow</math> r = <math>\frac{1}{4}</math> somit '''schneiden sich''' g und E.<br />
Um den '''Schnittpunkt''' auszurechnen, setzt man r in g ein <math>\Rightarrow</math> S(-0,5|0,5|-1)

=== Beispiel 2.2 ===
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.<br />
: g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}</math>  E: x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> - 3x<sub>3</sub> = 1.

'''Lösung:'''

Man setzt nun x<sub>1</sub> = -2 + r, x<sub>2</sub> = 3 + 2r und x<sub>3</sub> = 4 - r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:<br />
:-2 r -2(3 + 2r) - 3(4 - r) = 1 <math>\Rightarrow</math> -20 = 1; Somit sind g und E '''parallel'''.

=== Beispiel 2.3 ===
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und Ebene E.<br />
:g: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}</math>  E: x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> - 3x<sub>3</sub> = 14.

'''Lösung:'''

Man setzt nun x<sub>1</sub> = -3 + 5r, x<sub>2</sub> = 4 - 2r und x<sub>3</sub> = 1 + 3r in die Ebenengleichung ein, dann ergibt sich:<br />
:-3 + 5r -2(4 - 2r) - 3(1 + 3r) = 14 <math>\Rightarrow</math> 0 = 0; Somit '''liegt  g in E'''.

== '''Gegenseitige Lage von zwei Ebenen''' ==


Für die gegenseitige Lage von zwei Ebenen sind '''3 Fälle''' möglich:<br />

 1) Sie '''schneiden''' sich (Schnittgerade)
 2) Sie sind '''parallel'''
 3) Sie sind '''identisch'''

Lageuntersuchung bei verschiedenen Formen der Ebenengleichungen:
:1) Sind '''beide Ebenen in Koordinatenform''' gegeben, fass man diese als LGS mit drei Variablen zusammen ([[#Beispiel 3.1|Beispiel 3.1]])
:2) Sind '''beide Ebenen in Parameterform''' gegeben, setzt man diese gleich und erhält ein LGS mit drei Gleichungen und vier Variablen ([[#Beispiel 3.2|Beispiel 3.2]])
:3) Ist eine Ebene in '''Parameter- und eine in Koordinatenform''' gegeben, setzt man x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> und x<sub>3</sub> aus der Parametergleichung  in die Koordinatengleichung ein und erhält eine Gleichung mit den beiden Variablen ([[#Beispiel 3.3|Beispiel 3.3]])

=== Beispiel 3.1 ===
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.<br />
: E<sub>1</sub>: 3x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> = 3 und E<sub>2</sub>: 5x<sub>1</sub> + 3x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> = 6

'''Lösung:'''
Aus den beiden Gleichungen ergibt sich das LGS:<br />
:3x<sub>1</sub> - 2x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> = 3<br />
:5x<sub>1</sub> + 3x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> = 6<br />

Da dieses LGS unterbestimmt ist setzt man x<sub>1</sub> = r, dann erhält man:<br />
:x<sub>1</sub> = r
:x<sub>2</sub> = 11r - 12
:x<sub>3</sub> = -21 + 19r

Daraus ergibt sich die '''Schnittgerade''':
:<math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ -21 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 11 \\ 19 \end{pmatrix}</math>

=== Beispiel 3.2 ===
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.<br />
: E<sub>1</sub>: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>  E<sub>2</sub>: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + t<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + u<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}</math> 

'''Lösung:'''<br />
Daraus ergibt sich <math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math> = <math>\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + t<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}</math> + u<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}</math> <br />
Man Erhält das LGS:<br />
:1 + r + s = 1 + t -2u<br />
:1 + 2r = -1 - 4t + 3u<br />
: 4 +8r + 2s = -1 -t +7u<br />

Daraus folgt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat, d.h. die Ebenen '''schneiden sich'''.<br />
Setzt man u in E<sub>2</sub>, erhält man die '''Schnittgerade''':<br />
<math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 2 \\ -2,5 \\ -4,5 \end{pmatrix}</math> + t<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ -13 \end{pmatrix}</math>

=== Beispiel 3.3 ===
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Ebenen.<br />
: E<sub>1</sub>: x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> 2x<sub>3</sub> = 10; E<sub>2</sub>: <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}</math> + r<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}</math> 

'''Lösung:'''<br />
Setzt man x<sub>1</sub> = 1 + 4s, x<sub>2</sub> = 2 + r + s und x<sub>3</sub> = 1 - 3r + 5s in E<sub>2</sub> ein, erhält man die Gleichung r = 3s - 1; Somit '''schneiden sich''' die Ebenen.<br />
Setzt man r in E<sub>2</sub> ein, erhält man die '''Schnittgerade''' <math>\vec x</math>=<math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}</math> + s<math>\cdot</math><math>\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math>

== Siehe auch ==

* [[Schnitte von Geraden und Ebenen]]



[[Kategorie:Analytische Geometrie]]