Kurvendiskussion.: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. Dezember 2009, 15:09 Uhr

Beispiel Aufgabe

Definitionsbereich

Symmetrie

Punktsymmetrie

Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.

Achsensymmetrie

Alle Exponenten der Funktion sind gerade.

Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.

Nullstellen

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

Ableitung

1. Ableitung

gibt die Steigung m im Punkt an.

2. Ableitung

gibt die Krümmung von an.

Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten, um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung

siehe dazu Ableitungsregeln.

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung

Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein.

hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).

oder

hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).


Setzt man nun die x-Werte in die Funktion ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die zweite Ableitung in diesem Punkt = 0.

Notwedige Bedingung

Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein.

Hinreichende Bedingung

Setzt man nun die x-Werte in die Funktion ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Somit ist hier die Steigung m=0.

Grenzverhalten

Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.