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| + | <math>\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4</math><br /><br /> | ||
| + | 1. Ableitung<br /><math>\!f'(x)=-5x+4x^3</math><br /><br /> | ||
| + | 2. Ableitung<br /><math>\!f''(x)=-5+12x^2</math><br /><br /> | ||
| + | 3. Ableitung<br /><math>\!f'''(x)=24x</math> | ||
== Extrempunkte == | == Extrempunkte == | ||
Version vom 17. Dezember 2009, 15:45 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Beispiel Aufgabe
Definitionsbereich
Symmetrie
Punktsymmetrie
Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.
Achsensymmetrie
Alle Exponenten der Funktion sind gerade.
Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.
Beispiel
Da alle Exponenten der Funktion gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch.
Nullstellen
Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse
Beispiel
(Substitution)
Keine Lösung, da negative Zahl unter der Wurzel steht.
Ableitung
1. Ableitung 
gibt die Steigung m im Punkt 
an.
2. Ableitung 
gibt die Krümmung von an.
Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten, um eine Linkskrümmung.
3. Ableitung 
siehe dazu Ableitungsregeln.
Beispiel
1. Ableitung
2. Ableitung
3. Ableitung
Extrempunkte
In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung 
Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein. 
hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).
oder
hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).
Setzt man nun die x-Werte in die Funktion 
ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.
Wendepunkte
In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die zweite Ableitung in diesem Punkt = 0.
Notwedige Bedingung
Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein.
Hinreichende Bedingung
Setzt man nun die x-Werte in die Funktion ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)
Sattelpunkt
Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Somit ist hier die Steigung m=0.
Grenzverhalten
Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.
