Kurvendiskussion.: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. Dezember 2009, 15:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel Aufgabe
2 Definitionsbereich
3 Symmetrie
4 Nullstellen
- 4.1 Beispiel
5 Ableitung
- 5.1 Beispiel
6 Extrempunkte
- 6.1 Beispiel
7 Wendepunkte
- 7.1 Sattelpunkt
8 Grenzverhalten

Beispiel Aufgabe

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

Definitionsbereich

Symmetrie

Punktsymmetrie

$f\!(-x)=-f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.

Achsensymmetrie

$f\!(-x)=f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind gerade.

Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.

Beispiel

Da alle Exponenten der Funktion gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch.

Nullstellen

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

$f\!(x)=0$

Beispiel

$\!f(x)=0$

$\!2-\frac{5}{2}x^2+x^4=0$

$\!x^4-\frac{5}{2}x^2+2=0$

$\!x^2=z$ (Substitution)

$\!z^2-\frac{5}{2}z+2=0$

$\!x_1,_2=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{5}{4}-2}$

$\!=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{5-8}{4}}$

$\!\Rightarrow$ Keine Lösung, da negative Zahl unter der Wurzel steht.

Ableitung

1. Ableitung $f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x_0)$ gibt die Steigung m im Punkt $x_0\!$ an.

2. Ableitung $f\!\,''(x)$

$f\!\,''(x_0)$ gibt die Krümmung von $x_0\!$ an.

Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten, um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung $f\!\,'''(x)$

siehe dazu Ableitungsregeln.

Beispiel

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

1. Ableitung
$\!f'(x)=-5x+4x^3$

2. Ableitung
$\!f''(x)=-5+12x^2$

3. Ableitung
$\!f'''(x)=24x$

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung $f\!\,'(x)=0$

Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein. $\Rightarrow$

$f\!\,''(x)>0$ hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).

oder

$f\!\,''(x)<0$ hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).

Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Beispiel

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die zweite Ableitung in diesem Punkt = 0.

Notwedige Bedingung

$f\!\,''(x)=0$

Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein.

Hinreichende Bedingung

$f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0$

Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Somit ist hier die Steigung m=0.

Grenzverhalten

Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.

$\lim_{x \to \infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 <br /><br /><br />
 Setzt man nun die x-Werte in die Funktion <math>\!f(x)</math> ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.
+=== Beispiel ===
 == Wendepunkte ==

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Beispiel Aufgabe

Definitionsbereich

Symmetrie

Punktsymmetrie

Achsensymmetrie

Beispiel

Nullstellen

Beispiel

Ableitung

Beispiel

Extrempunkte

Beispiel

Wendepunkte

Sattelpunkt

Grenzverhalten

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