Ganzrationale Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 01:12 Uhr

${ \color{Blue}f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0}$

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ = Polynom

$a_n, a_n-1,..., a_1, a_0$ = Koeffizienten

n = Grad des Polynom

Inhaltsverzeichnis

1 1.
- 1.1
- 1.2
- 1.3
- 1.4
2 2.
3 3.

1. ${ \color{OliveGreen}Nullstellen \ bestimmen: }$

f(x)=0

${ \color{Red} Polynomdivision: }$

Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.

Vorgehensweise:

a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.

Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind

b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.

c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch : $\frac{f(x)}{p(x)}$ und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.

${ \color{Red} Substitution:}$

Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.

Beispiel:

Funktion: f(x) = $x^4$ + $6x^2$ + 8 = 0.

substituiere: $x^2$ = z

neue Funktion $f(z)_n$ = $z^2$ + 6z + 8 = 0.

Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.

Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.

${ \color{Red} p/q-Formel:}$

f(x) = $x^2$ + px + q = 0

$x_{1,2}$ = $\frac{-p}{2}$ $\pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }$

${ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}$

Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

$x^2$ + ax = $\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}$ - $\frac{a^2}{4}$

2. ${ \color{OliveGreen}Symmetrie: }$

1. $f(-x) = f(x)$ für $x \in D$ $\rightarrow$ achsensymmetrisch zur y-Achse

2. $f(-x) = -f(x)$ für $x \in D$ $\rightarrow$ punktsymmetrisch zum Ursprung

Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen

3. ${ \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}$

$a_nx^n$ : für $a_n > 0$ gilt

$\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade.} \end{cases}$

$a_nx^n$ : für $a_n < 0$ gilt

$\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade.} \end{cases}$

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-<math>f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0</math>
+'''<math>{ \color{Blue}f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0}</math>'''
+<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0</math> =  Polynom
+<math>a_n, a_n-1,..., a_1, a_0</math>                  =  Koeffizienten
+n                                                       =  Grad des Polynom
+== 1. <math>{ \color{OliveGreen}Nullstellen \ bestimmen: }</math> ==
-<math>Nullstellen bestimmen:
 f(x)=0
-</math>
-. Polynomdivision:
-Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgeführt werden.
+=== <math>{ \color{Red} Polynomdivision: }</math> ===
+Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.
 Vorgehensweise:
-a) Bestimmung einer Nullstelle der Funktion durch Erraten.
+a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.
+Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind
+b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.
+c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :<math>\frac{f(x)}{p(x)}</math> und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.
+=== <math>{ \color{Red} Substitution:}</math> ===
+Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.
+Beispiel:
+Funktion: f(x) = <math>x^4</math> + <math>6x^2</math> + 8 = 0.
+substituiere: <math>x^2</math> = z
+neue Funktion <math>f(z)_n</math> = <math>z^2</math> + 6z + 8 = 0.
+Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.
+Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.
+=== <math>{ \color{Red} p/q-Formel:}</math> ===
+f(x) = <math>x^2</math> + px + q = 0
+<math>x_{1,2}</math> = <math>\frac{-p}{2}</math> <math> \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }</math>
+=== <math>{ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}</math> ===
+Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
+<math>x^2</math> + ax = <math>\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}</math> - <math>\frac{a^2}{4}</math>
+== 2. <math>{ \color{OliveGreen}Symmetrie: }</math> ==
+.   <math>f(-x)  =   f(x)</math>       für <math>x \in D</math>   <math>\rightarrow</math> '''achsensymmetrisch'''  zur  y-Achse
+.   <math>f(-x)  =  -f(x)</math>       für <math>x \in D</math>   <math>\rightarrow</math> '''punktsymmetrisch'''   zum  Ursprung
+Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen
+== 3. <math>{ \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}</math> ==
+<math>a_nx^n</math>  :  für <math>a_n > 0</math> gilt
+<math>
+\begin{cases}
+  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  gerade,}\\
+  f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  ungerade.}
+\end{cases}
+</math>
+<math>a_nx^n</math>  :  für <math>a_n < 0</math> gilt
+<math>
+\begin{cases}
+  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  ungerade,}\\
+  f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  gerade.}
+\end{cases}
+</math>
+[[Kategorie:Funktionen]]

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1. ${ \color{OliveGreen}Nullstellen \ bestimmen: }$

${ \color{Red} Polynomdivision: }$

${ \color{Red} Substitution:}$

${ \color{Red} p/q-Formel:}$

${ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}$

2. ${ \color{OliveGreen}Symmetrie: }$

3. ${ \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}$

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