Ganzrationale Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0</math>
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<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0</math> =  Polynom
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<math>a_n, a_n-1,..., a_1, a_0</math>                  =  Koeffizienten
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n                                                      =  Grad des Polynom
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f(x)=0
 
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1. <math>Polynomdivision</math>:
 
  
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<math>Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgeführt werden</math>.
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=== <math>{ \color{Red} Polynomdivision: }</math> ===
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Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.
  
 
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a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.
 
a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.
  
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Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gängigen Nullstellen sind
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Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind  
  
 
b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.
 
b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.
  
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c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch : f(x)/p(x)
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c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :<math>\frac{f(x)}{p(x)}</math> und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.
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=== <math>{ \color{Red} Substitution:}</math> ===
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Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.
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Funktion: f(x) = <math>x^4</math> + <math>6x^2</math> + 8 = 0.
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substituiere: <math>x^2</math> = z
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neue Funktion <math>f(z)_n</math> = <math>z^2</math> + 6z + 8 = 0.
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Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.
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Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.
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f(x) = <math>x^2</math> + px + q = 0
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<math>x_{1,2}</math> = <math>\frac{-p}{2}</math> <math> \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }</math>
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=== <math>{ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}</math> ===
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Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
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<math>x^2</math> + ax = <math>\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}</math> - <math>\frac{a^2}{4}</math>
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== 2. <math>{ \color{OliveGreen}Symmetrie: }</math> ==
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1.  <math>f(-x)  =  f(x)</math>      für <math>x \in D</math>  <math>\rightarrow</math> '''achsensymmetrisch'''  zur  y-Achse
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2.  <math>f(-x)  =  -f(x)</math>      für <math>x \in D</math>  <math>\rightarrow</math> '''punktsymmetrisch'''  zum  Ursprung
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Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen
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== 3. <math>{ \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}</math> ==
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<math>a_nx^n</math>  :  für <math>a_n > 0</math> gilt
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\begin{cases}
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  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  gerade,}\\
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  f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  ungerade.}
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\end{cases}
 
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<math>a_nx^n</math>  :  für <math>a_n < 0</math> gilt
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  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  ungerade,}\\
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  f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  gerade.}
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\end{cases}
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[[Kategorie:Funktionen]]

Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 01:12 Uhr

{ \color{Blue}f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0}


a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = Polynom

a_n, a_n-1,..., a_1, a_0 = Koeffizienten

n = Grad des Polynom



Inhaltsverzeichnis

1. { \color{OliveGreen}Nullstellen \ bestimmen: }

f(x)=0



{ \color{Red} Polynomdivision: }

Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.

Vorgehensweise:

a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.

Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind

b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.

c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :\frac{f(x)}{p(x)} und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.



{ \color{Red} Substitution:}

Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.

Beispiel:

Funktion: f(x) = x^4 + 6x^2 + 8 = 0.

substituiere: x^2 = z

neue Funktion f(z)_n = z^2 + 6z + 8 = 0.

Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.

Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.



{ \color{Red} p/q-Formel:}

f(x) = x^2 + px + q = 0

x_{1,2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }



{ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}

Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

x^2 + ax = \underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2} - \frac{a^2}{4}



2. { \color{OliveGreen}Symmetrie: }

1. f(-x) = f(x) für x \in D \rightarrow achsensymmetrisch zur y-Achse

2. f(-x) = -f(x) für x \in D \rightarrow punktsymmetrisch zum Ursprung


Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen



3. { \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}

a_nx^n  : für a_n > 0 gilt


\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade.} \end{cases}


a_nx^n  : für a_n < 0 gilt


\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade.} \end{cases}

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