Ganzrationale Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | <math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0</math> = Polynom | ||
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| + | <math>a_n, a_n-1,..., a_1, a_0</math> = Koeffizienten | ||
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f(x)=0 | f(x)=0 | ||
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Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden. | Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden. | ||
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Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint. | Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint. | ||
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Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen. | Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen. | ||
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| + | f(x) = <math>x^2</math> + px + q = 0 | ||
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| + | <math>x_{1,2}</math> = <math>\frac{-p}{2}</math> <math> \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }</math> | ||
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| + | === <math>{ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}</math> === | ||
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| + | Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden. | ||
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| + | <math>x^2</math> + ax = <math>\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}</math> - <math>\frac{a^2}{4}</math> | ||
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| + | 1. <math>f(-x) = f(x)</math> für <math>x \in D</math> <math>\rightarrow</math> '''achsensymmetrisch''' zur y-Achse | ||
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| + | 2. <math>f(-x) = -f(x)</math> für <math>x \in D</math> <math>\rightarrow</math> '''punktsymmetrisch''' zum Ursprung | ||
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| + | Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen | ||
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| + | == 3. <math>{ \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}</math> == | ||
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| + | <math>a_nx^n</math> : für <math>a_n > 0</math> gilt | ||
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| + | f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade,}\\ | ||
| + | f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade.} | ||
| + | \end{cases} | ||
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| + | f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade,}\\ | ||
| + | f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade.} | ||
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Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 01:12 Uhr
= Polynom
= Koeffizienten
n = Grad des Polynom
Inhaltsverzeichnis |
1. 
f(x)=0
Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.
Vorgehensweise:
a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.
Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind
b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.
c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :
und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.
Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.
Beispiel:
Funktion: f(x) = 
+ 
+ 8 = 0.
substituiere: 
= z
neue Funktion 
= 
+ 6z + 8 = 0.
Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.
Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.
f(x) = + px + q = 0
= 
Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
+ ax = 
- 
2. 
1. 
für 
achsensymmetrisch zur y-Achse
2. 
für punktsymmetrisch zum Ursprung
Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen
3. 
: für 
gilt
: für 
gilt
