Ganzrationale Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0</math> =  Polynom
 
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<math>a_n, a_8n-1,..., a_1, a_0</math>                  =  Koeffizienten
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n                                                      =  Grad des Polynom
 
n                                                      =  Grad des Polynom
  
  
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''Nullstellen bestimmen:
 
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f(x)=0''
 
  
  
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f(x)=0
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Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.
 
Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.
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Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.  
 
Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.  
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'''3. p/q-Formel:'''
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=== <math>{ \color{Red} p/q-Formel:}</math> ===
  
 
f(x) = <math>x^2</math> + px + q = 0
 
f(x) = <math>x^2</math> + px + q = 0
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'''Verhalten von ganzrationalen Funktionen : '''
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=== <math>{ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}</math> ===
  
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<math>a_nx^n</math> : für <math>a_n > 0</math> gilt
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Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
  
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<math>x^2</math> + ax = <math>\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}</math> - <math>\frac{a^2}{4}</math>
  
  
  
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'''4. quadratische Ergänzung:'''
 
  
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Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.
 
  
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<math>x^2</math> + ax = <math>\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}</math> - <math>\frac{a^2}{4}</math>
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1.  <math>f(-x)  =  f(x)</math>      für <math>x \in D</math>  <math>\rightarrow</math> '''achsensymmetrisch'''  zur  y-Achse
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Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen
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  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm { gerade,}\\
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  f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm { ungerade.}
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  f(x) \rightarrow + \infty,  & \textrm{wenn  } \quad n \quad \textrm {  ungerade,}\\
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[[Kategorie:Funktionen]]

Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 01:12 Uhr

{ \color{Blue}f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0}


a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = Polynom

a_n, a_n-1,..., a_1, a_0 = Koeffizienten

n = Grad des Polynom



Inhaltsverzeichnis

1. { \color{OliveGreen}Nullstellen \ bestimmen: }

f(x)=0



{ \color{Red} Polynomdivision: }

Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.

Vorgehensweise:

a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.

Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind

b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.

c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :\frac{f(x)}{p(x)} und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.



{ \color{Red} Substitution:}

Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.

Beispiel:

Funktion: f(x) = x^4 + 6x^2 + 8 = 0.

substituiere: x^2 = z

neue Funktion f(z)_n = z^2 + 6z + 8 = 0.

Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.

Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.



{ \color{Red} p/q-Formel:}

f(x) = x^2 + px + q = 0

x_{1,2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }



{ \color{Red} quadratische \ Ergaenzung:}

Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

x^2 + ax = \underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2} - \frac{a^2}{4}



2. { \color{OliveGreen}Symmetrie: }

1. f(-x) = f(x) für x \in D \rightarrow achsensymmetrisch zur y-Achse

2. f(-x) = -f(x) für x \in D \rightarrow punktsymmetrisch zum Ursprung


Tipp:achsensymmetrische ganzrationale Funktionen haben nur gerade Exponente und punktsymmetrische ganzrationale Funktionen nur ungerade Hochzahlen



3. { \color{OliveGreen}Verhalten \ von \ ganzrationalen \ Funktionen}

a_nx^n  : für a_n > 0 gilt


\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade.} \end{cases}


a_nx^n  : für a_n < 0 gilt


\begin{cases} f(x) \rightarrow + \infty, & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { ungerade,}\\ f(x) \rightarrow - \infty , & \textrm{wenn } \quad n \quad \textrm { gerade.} \end{cases}

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