Ganzrationale Funktionen.: Unterschied zwischen den Versionen

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* Hilfe: Wenn es eine ganzzeilige Nullstelle gibt, dann muss diese Nullstelle Teiler des ganzen Glieds sein.
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* für x<sup>2</sup> = z
 
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* daraus ergibt sich: f(z) = az<sup>4</sup> + bz<sup>2</sup> + cz
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* Gleichung lösen und danach wieder zurück substituieren
 
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Aktuelle Version vom 17. Dezember 2010, 10:28 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ganzrationale Funktionen

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0

n = Grad des Polynoms


Definitionsbereich:

  • x\in\R
  • (an \not= 0, n\in\N)


Bestimmung einer ganzrationalen Funktion in Sachzusammenhängen:

  • lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen
  • Koordinatensystem auswählen
  • Bedingung: n + 1 Bedingungen sind nötig


Nullstellen der Funktion:

f(x)=0

Funktionen 2. Grades:


Gleichung f(x)=0 in die Normalform umwandeln:

f(x)= ax2 + bx + c | :a 

   = x2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}


  • Lösen der Gleichung mithilfe der p/q-Formel:

f(x) = x^2 + px + q = 0

x_{1,2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }

oder c ist gleich 0:
ax2+bx= 0 | x ausklammern
x(ax+b) = 0
dann:
ax+b = 0

Funktionen 3. Grades:

f(x)= a3x + b2x + cx+d


  • Lösen der Gleichung mithilfe der Polynomdivision:
  • Hilfe: Wenn es eine ganzzahlige Nullstelle gibt, dann muss diese Nullstelle Teiler des ganzen Glieds sein.

Funktionen mehrstelligem Grades:

  • Z.B. f(x) = ax4 + bx2 + c
  • Lösen der Gleichung mithilfe der Substitution:
  • für x2 = z
  • daraus ergibt sich: f(z) = az2 + bz + c
  • Gleichung lösen und danach wieder zurück substituieren

Symmetrie:

  • Wenn alle Exponenten gerade sind, dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y- Achse
  • Wenn mind. ein Exponent ungerade ist, dann ist die Funkton punktsymmetrisch zum Ursprung


Verhalten im Unendlichen:

an < 0

  • f(x) --> + \infty  : n gerade
  • f(x) --> - \infty : n ungerade


an > 0


  • f(x) --> + \infty  : n ungerade


  • f(x) --> - \infty  : n gerade
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