Kurvendiskussion.: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:41 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiel Aufgabe
2 Definitionsbereich
3 Symmetrie
4 Nullstellen
- 4.1 Beispiel
5 Ableitung
- 5.1 Beispiel
6 Extrempunkte
- 6.1 Beispiel
7 Wendepunkte
- 7.1 Sattelpunkt
- 7.2 Beispiel
8 Grenzverhalten
- 8.1 Beispiel
9 Zeichnung
- 9.1 Beispiel

Beispiel Aufgabe

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

Definitionsbereich

$\mathbb{D}$ = $\mathbb{R}$

Symmetrie

Punktsymmetrie

$f\!(-x)=-f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.

Achsensymmetrie

$f\!(-x)=f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind gerade.

Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.

Beispiel

Da alle Exponenten der Funktion gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch.

Nullstellen

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

$f\!(x)=0$

Beispiel

$\!f(x)=0$

$\!2-\frac{5}{2}x^2+x^4=0$

$\!x^4-\frac{5}{2}x^2+2=0$

$\!x^2=z$ (Substitution)

$\!z^2-\frac{5}{2}z+2=0$

$\!x_1,_2=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}-2}$

$\!=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25-32}{4}}$

$\!\Rightarrow$ Keine Lösung, da negative Zahl unter der Wurzel steht.

Ableitung

1. Ableitung $f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x_0)$ gibt die Steigung m im Punkt $x_0\!$ an.

2. Ableitung $f\!\,''(x)$

$f\!\,''(x_0)$ gibt die Krümmung von $x_0\!$ an.

Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Linkskrümmung, bei negativen Werten, um eine Rechtskrümmung.

3. Ableitung $f\!\,'''(x)$

siehe dazu Ableitungsregeln.

Beispiel

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

1. Ableitung
$\!f'(x)=-5x+4x^3$

2. Ableitung
$\!f''(x)=-5+12x^2$

3. Ableitung
$\!f'''(x)=24x$

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung $f\!\,'(x)=0$

Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein. $\Rightarrow$

$f\!\,''(x)>0$ hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).

oder

$f\!\,''(x)<0$ hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).

Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Beispiel

Notwendige Bedingung: $\!f'(x)=0$

$\!-5x+4x^3=0$

$\!x(4x^2-5)=0$

$\!x_1=0$

$\!4x^2-5=0$

$\!4x^2=5$

$\!x^2=\frac{5}{4}$

$\!x_2,_3=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}$

$\!x_2=1,12$

$\!x_3=-1,12$

Lösumg: $\!x_1=0$ ; $\!x_2=1,12$ ; $\!x_3=-1,12$

Hinreichende Bedingung

$\!f''(0)=-5\Rightarrow (0/2)$ Hochpunkt

$\!f''(1,12)=10,1\Rightarrow(1,12/0,438)$ Tiefpunkt

$\!f''(-1,12)=10,1\Rightarrow(-1,12/0,438)$ Tiefpunkt

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die zweite Ableitung in diesem Punkt = 0.

Notwedige Bedingung

$f\!\,''(x)=0$

Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein.

Hinreichende Bedingung

$f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0$

Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Somit ist hier die Steigung m=0.

Beispiel

Notwendige Bedingung: $\!f''(x)=0$

$\!-5+12x^2=0$

$\!12x^2=5$

$\!x^2=\frac{5}{12}$

$\!x_1,_2=\pm\sqrt{\frac{5}{12}}$

$\!x_1=\sqrt{\frac{5}{12}}$

$\!x_2=-\sqrt{\frac{5}{12}}$

Lösung: $\!x_1=\sqrt{\frac{5}{12}}$ ; $\!x_2=-\sqrt{\frac{5}{12}}$

Hinreichende Bedingung

$\!f'''(\sqrt{\frac{5}{12}})=15,504\Rightarrow (0,646/1,13)$

$\!f'''(-\sqrt{\frac{5}{12}})=-15,504\Rightarrow (-0,646/1,13)$

Grenzverhalten

Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.

$\lim_{x \to \infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$

Beispiel

$\lim_{x \to \infty}f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4=\infty$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4=\infty$

Zeichnung

Beispiel

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

Funktion ist achsensymmetrisch
Keine Nullstelle
Hochpunkt in $\!(0/2)$ ; Tiefpunkt in $\!(1,12/0,438)$ und $\!(-1,12/0,438)$
Wendepunkt in $\!(0,646/1,3)$ und $\!(-0,646/1,3)$
Grenzverhalten: Funktion "kommt" aus + $\!\infty$ und "geht" nach + $\!\infty$

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 == Beispiel Aufgabe ==
@@ Zeile 7: / Zeile 5: @@
 == Definitionsbereich ==
+<math>\mathbb{D}</math>=<math>\mathbb{R}</math>
 == Symmetrie ==
@@ Zeile 42: / Zeile 41: @@
 <math>\!x^2=z</math> (Substitution)<br /><br />
 <math>\!z^2-\frac{5}{2}z+2=0</math><br /><br />
-<math>\!x_1,_2=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{5}{4}-2}</math><br /><br />
+<math>\!x_1,_2=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}-2}</math><br /><br />
-<math>\!=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{5-8}{4}}</math><br /><br />
+<math>\!=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25-32}{4}}</math><br /><br />
-<math>\!\Rightarrow</math> Keine Lösung, da negative Zahl unter der Wurzel steht.
+<math>\!\Rightarrow</math> '''Keine Lösung''', da negative Zahl unter der Wurzel steht.
 == Ableitung ==
@@ Zeile 56: / Zeile 55: @@
 <math>f\!\,''(x_0)</math> gibt die Krümmung von <math>x_0\!</math> an. <br /><br />
-Bei '''<u>positiven Werten</u>''' handelt es sich dabei um eine '''<u>Rechtskrümmung</u>''', bei '''<u>negativen Werten</u>''', um eine '''<u>Linkskrümmung</u>'''.
+Bei '''<u>positiven Werten</u>''' handelt es sich dabei um eine '''<u>Linkskrümmung</u>''', bei '''<u>negativen Werten</u>''', um eine '''<u>Rechtskrümmung</u>'''.
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 === Beispiel ===
+<math>\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4</math><br /><br />
+'''1. Ableitung'''<br /><math>\!f'(x)=-5x+4x^3</math><br /><br />
+'''2. Ableitung'''<br /><math>\!f''(x)=-5+12x^2</math><br /><br />
+'''3. Ableitung'''<br /><math>\!f'''(x)=24x</math>
 == Extrempunkte ==
@@ Zeile 79: / Zeile 83: @@
 <br /><br /><br />
 Setzt man nun die x-Werte in die Funktion <math>\!f(x)</math> ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.
+=== Beispiel ===
+<br />'''Notwendige Bedingung:''' <math>\!f'(x)=0</math><br /><br />
+<math>\!-5x+4x^3=0</math><br /><br />
+<math>\!x(4x^2-5)=0</math><br /><br />
+<math>\!x_1=0</math><br /><br />
+<math>\!4x^2-5=0</math><br /><br />
+<math>\!4x^2=5</math><br /><br />
+<math>\!x^2=\frac{5}{4}</math><br /><br />
+<math>\!x_2,_3=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}</math><br /><br />
+<math>\!x_2=1,12</math><br /><br />
+<math>\!x_3=-1,12</math><br /><br />
+'''Lösumg:''' <math>\!x_1=0</math> ; <math>\!x_2=1,12</math> ; <math>\!x_3=-1,12</math><br /><br />
+'''Hinreichende Bedingung'''<br /><br />
+<math>\!f''(0)=-5\Rightarrow (0/2)</math>Hochpunkt<br /><br />
+<math>\!f''(1,12)=10,1\Rightarrow(1,12/0,438)</math>Tiefpunkt<br /><br />
+<math>\!f''(-1,12)=10,1\Rightarrow(-1,12/0,438)</math> Tiefpunkt
 == Wendepunkte ==
@@ Zeile 100: / Zeile 124: @@
 Bei einem '''Sattelpunkt''' handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine '''waagerechte Tangente''' gibt. Somit ist hier die '''Steigung m=0.'''
+=== Beispiel ===
+<br />'''Notwendige Bedingung:''' <math>\!f''(x)=0</math><br /><br />
+<math>\!-5+12x^2=0</math><br /><br />
+<math>\!12x^2=5</math><br /><br />
+<math>\!x^2=\frac{5}{12}</math><br /><br />
+<math>\!x_1,_2=\pm\sqrt{\frac{5}{12}}</math><br /><br />
+<math>\!x_1=\sqrt{\frac{5}{12}}</math><br /><br />
+<math>\!x_2=-\sqrt{\frac{5}{12}}</math><br /><br />
+'''Lösung:''' <math>\!x_1=\sqrt{\frac{5}{12}}</math> ; <math>\!x_2=-\sqrt{\frac{5}{12}}</math>
+'''Hinreichende Bedingung'''
+<math>\!f'''(\sqrt{\frac{5}{12}})=15,504\Rightarrow (0,646/1,13)</math><br /><br />
+<math>\!f'''(-\sqrt{\frac{5}{12}})=-15,504\Rightarrow (-0,646/1,13)</math>
 == Grenzverhalten ==
@@ Zeile 113: / Zeile 154: @@
-[[Kategorie:Kurvendiskussion]]
+=== Beispiel ===
+<math>\lim_{x \to \infty}f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4=\infty</math><br /><br />
+<math>\lim_{x \to -\infty}f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4=\infty</math>
+== Zeichnung ==
+=== Beispiel ===
+<math>\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4</math><br /><br />
+* Funktion ist achsensymmetrisch
+* Keine Nullstelle
+* Hochpunkt in <math>\!(0/2)</math>; Tiefpunkt in <math>\!(1,12/0,438)</math> und <math>\!(-1,12/0,438)</math>
+* Wendepunkt in <math>\!(0,646/1,3)</math> und <math>\!(-0,646/1,3)</math>
+* Grenzverhalten: Funktion "kommt" aus +<math>\!\infty</math> und "geht" nach +<math>\!\infty</math>
+[[Bild:Zeichnung Kurvendiskussion.jpg]]
+[[Kategorie:Kurvendiskussion|!]]

Kurvendiskussion.: Unterschied zwischen den Versionen

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Inhaltsverzeichnis

Beispiel Aufgabe

Definitionsbereich

Symmetrie

Punktsymmetrie

Achsensymmetrie

Beispiel

Nullstellen

Beispiel

Ableitung

Beispiel

Extrempunkte

Beispiel

Wendepunkte

Sattelpunkt

Beispiel

Grenzverhalten

Beispiel

Zeichnung

Beispiel

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