Darstellung von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei drei gegebenen Vektoren <math>\vec a</math> <math>\vec b</math> <math>\vec c</math> bildet man das Kreuzprodukt aus <math> \vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}</math><br />. | Bei drei gegebenen Vektoren <math>\vec a</math> <math>\vec b</math> <math>\vec c</math> bildet man das Kreuzprodukt aus <math> \vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}</math><br />. | ||
Der Stützvektor ist <math>\vec a</math>. | Der Stützvektor ist <math>\vec a</math>. | ||
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Zielgleichung: <math>\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0</math> | Zielgleichung: <math>\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0</math> | ||
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Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:49 Uhr
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Geraden
Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.
In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben.
Die Geradengleichung in Parameterform ist also:
Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. der Stützvektor und der Richtungsvektor.
Ebenen
Parameterform:
Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.
Die Parametergleichung für eine Ebene ist:
Normalenform:
Bei drei gegebenen Vektoren bildet man das Kreuzprodukt aus
.
Der Stützvektor ist .
Koordinatenform:
Formumformungen
Parameterform in Koordinatenform
Als lineares Gleichungssystem lösen.
Parameterform in Normalenform
1) Normalenvektor finden durch
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Zielgleichung:
Koordinatenform in Parameterform
Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten Sx,sy: Ebene liegt parallel zur damit ist der Richtungvektor
Koordinatenform in Normalenform
bestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform also Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.
Zielgleichung:
Normalenform in Koordinatenform
Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.
Zielgleichung: