Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert. | 3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert. | ||
+ | <math>A=\int_{a}^{N} f(x)\, dx+\int_{N}^{b} f(x)\, dx</math> | ||
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<math>\begin{matrix} | <math>\begin{matrix} | ||
0,5x^3-2x&=& 0 \\ | 0,5x^3-2x&=& 0 \\ | ||
− | \ x(0,5x^2-2)& =& 0 | + | \ x(0,5x^2-2)& =& 0\\ |
+ | \ x=0 ; 0,5x^2-2& =& 0\\ | ||
+ | \ x& =& \pm2 | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
− | <math>x=0 | + | 2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen |
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+ | für <math>-1 \le x \le 0</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math> ---> denn f(-1)=1,5 | ||
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+ | für <math>0 \le x \le 2</math> gilt <math>f(x) \le 0</math> ---> denn f(1)=-1,5 | ||
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+ | für <math>2 \le x \le 2,5</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math> ---> denn f(2,3)=1,4835 | ||
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+ | 3.) Flächeninhalt berechnen | ||
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+ | <math>\begin{matrix} | ||
+ | A&=& \int_{-1}^{0} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{0}^{2} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{2}^{2,5} 0,5x^3-2x\, dx \\ | ||
+ | \ & =& [\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2] \\ | ||
+ | \ & =& (0-(-\frac{7}{8}))+(|-2-0|)+(-\frac{175}{128})-(-2) \\ | ||
+ | \ & =& \frac{7}{8}+2+\frac{81}{128} \\ | ||
+ | \ & =& 3,51 | ||
+ | \end{matrix}</math> | ||
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+ | Der Flächeninhalt beträgt ungefähr A=3,51 | ||
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+ | == Flächen zwischen zwei Graphen f und g == | ||
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+ | Falls sich die Graphen f und g schneiden, gilt teilweise <math>f(x) \ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x) \ge f(x)</math>. | ||
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+ | Zur Bestimmung von A geht man deshalb so vor: | ||
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+ | 1.) Berechnung der Schnittpunkte von f und g (gleichsetzen!) | ||
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+ | 2.) Bestimmung, in welchen Teilintervallen <math>f(x) \ge g(x)</math> bzw. <math>g(x) \ge f(x)</math> gilt. | ||
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+ | 3.) Berechnung des Flächeninhalts | ||
+ | <math>A=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx+\int_{b}^{c} g(x)-f(x)\, dx |
Aktuelle Version vom 1. Mai 2011, 16:44 Uhr
Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse
Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:
denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.
Beispielaufgaben:
Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.
Lösung: Da für
ist, gilt:
Der Flächeninhalt beträgt
Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.
Lösung: Da für
ist, gilt:
Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt
Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:
1.) Berechnung der Nullstellen von f
2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen
3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.
Beispielaufgabe:
Beispiel3: Fläche teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5x^3-2x (Fig.3).
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [-1;2,5] einschließen.
Lösung:
1.) Nullstellen berechnen --> f(x)=0
2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen
für gilt
---> denn f(-1)=1,5
für gilt
---> denn f(1)=-1,5
für gilt
---> denn f(2,3)=1,4835
3.) Flächeninhalt berechnen
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr A=3,51
Flächen zwischen zwei Graphen f und g
Falls sich die Graphen f und g schneiden, gilt teilweise und teilweise
.
Zur Bestimmung von A geht man deshalb so vor:
1.) Berechnung der Schnittpunkte von f und g (gleichsetzen!)
2.) Bestimmung, in welchen Teilintervallen bzw.
gilt.
3.) Berechnung des Flächeninhalts