Steckbriefaufgaben.: Unterschied zwischen den Versionen
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== Rechnung == | == Rechnung == | ||
| − | Bei dieser Aufgabe wird eine Funktion gesucht, welche die Verkehrsdichte (in Kfz/h) am Graf-von-Galen-Ring in Abhängigkeit von der Tageszeit angibt. Dies bedeutet der <math>x</math>-Wert der Funktion gibt die Uhrzeit an und der Wert von <math>f(x)</math> die Verkehrsdichte. | + | Bei dieser Aufgabe wird eine Funktion gesucht, welche die Verkehrsdichte (in Kfz/h) am Graf-von-Galen-Ring in Abhängigkeit von der Tageszeit angibt. Dies bedeutet der <math>x\!\,</math>-Wert der Funktion gibt die Uhrzeit an und der Wert von <math>f\!\,(x)</math> die Verkehrsdichte. |
=== Nebenbedingungen aufstellen === | === Nebenbedingungen aufstellen === | ||
Aus dem Text lassen sich folgende Nebenbedingungen herausfiltern: | Aus dem Text lassen sich folgende Nebenbedingungen herausfiltern: | ||
| − | I.<math>f( 0 )=400</math>, da um 0 Uhr eine Vehrkersdichte von 400 Kfz/h herrschte. | + | * I.<math>f\!\,( 0 )=400</math>, da um 0 Uhr eine Vehrkersdichte von 400 Kfz/h herrschte. |
| − | II.<math>f(8)=2100</math>, da die Verkehrsdichte um 8 Uhr bei 2100 Kfz/h lag. | + | * II.<math>f\!\,(8)=2100</math>, da die Verkehrsdichte um 8 Uhr bei 2100 Kfz/h lag. |
| − | III.<math>f'(8)=0</math>, da der Wert um 8 zudem der höchste am Tag ist hat <math>f(x)</math> hier ein Maximum. | + | * III.<math>f\!\,'(8)=0</math>, da der Wert um 8 Uhr zudem der höchste am Tag ist hat <math>f\!\,(x)</math> hier ein Maximum. |
| − | IV.<math>f(14)=1600</math>, weil wie im Text erwähnt um 14 Uhr die Verkehrsdichte bei 1600 Kfz/h lag. | + | * IV.<math>f\!\,(14)=1600</math>, weil wie im Text erwähnt um 14 Uhr die Verkehrsdichte bei 1600 Kfz/h lag. |
| − | V.<math>f'(14)=0</math>, weil gesagt wird, dass die Verkehrsdichte bis 14 Uhr sankt und danach wieder stieg, muss bei <math>x=14</math> ein Minimum liegen. | + | * V.<math>f\!\,'(14)=0</math>, weil gesagt wird, dass die Verkehrsdichte bis 14 Uhr sankt und danach wieder stieg, muss bei <math>x\!\,=14</math> ein Minimum liegen. |
| − | VI.<math>f'(17)=0</math>, weil im Text von einem Zwischenhoch um 17 Uhr die Rede ist, liegt bei <math>x=17</math> ein Maximum. | + | * VI.<math>f\!\,'(17)=0</math>, weil im Text von einem Zwischenhoch um 17 Uhr die Rede ist, liegt bei <math>x\!\,=17</math> ein Maximum. |
| + | Da man mit 6 Nebenbedingungen eine ganzrationale Funktion von höchstens fünftem Grad bestimmen kann ist die allgemeine Funktion: | ||
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| + | * <math>f\!\,(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f</math> mit | ||
| + | * <math>f\!\,'(x)=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e</math> | ||
=== Gleichungssystem aufstellen === | === Gleichungssystem aufstellen === | ||
| + | Aus diesen mathematischen Nebenbedingungen lässt sich nun folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen: | ||
| + | * I.<math>0a+0b+0c+0d+0e+f=400<=>f=400\!\,</math> | ||
| + | * II.<math>32768a+4096b+512c+64d+8e+400=2100\!\,</math> | ||
| + | * III.<math>20480a+2048b+192c+16d+e=0\!\,</math> | ||
| + | * IV.<math>537824a+38416b+2744c+196d+14e+400=1600\!\,</math> | ||
| + | * V.<math>192080a+10976b+588c+28d+e=0\!\,</math> | ||
| + | * VI.<math>417605a+19652b+867c+34d+e=0\!\,</math> | ||
=== Lösen des Gleichungssystems === | === Lösen des Gleichungssystems === | ||
Version vom 8. Dezember 2009, 19:38 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Allgemeines
Bei Steckbriefaufgaben geht es darum Funktion mithilfe von Nebenbedingungen, wie z.B. Punkten, Extremstellen, etc., zu bestimmen. Dabei werden diese Nebenbedingungen in Textform angegeben. Zur Lösung von Steckbriefaufgaben müssen die Nebenbedingungen aus dem Text herrausgefiltert und in mathematischer Form dargestellt werden. Danach wird mit den mathematischen Nebenbedingungen ein lineares Gleichungssystem aufgestellt mit desen Lösung man die Funktion bestimmen kann.
Beispielaufgabe
Verkehrszählung am Hauptbahnhof
Im Zusammenhang mit der Diskussion um die Feinstaubbelastung am Graf-von-Galen-Ring in Hagen wurden auch umfangreiche Verkehrszählungen durchgeführt. Ich habe die meisten Zahlen, die bei der Diskussion im Umweltausschuss genannt wurden, nicht behalten, aber an folgende Datenlage erinnere ich mich noch: An einen Wochentag hatten wir um 0 Uhr morgens eine Verkehrsdichte von 400 Kfz/h, der höchste Wert lag um 8 Uhr bei 2100 Kfz/h. Danach sank die Verkehrsdichte bis 14 Uhr auf 1600 Kfz/h und stieg dann wieder auf ein Zwischenhoch um 17 Uhr.
b) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion, die die Verkehrsdichte (in Kfz/h) in Abhängigkeit von der Tageszeit (in h) gemäß den oben angegebenen Daten modelliert.
Diese Aufgabe ist entnommen von der Aufgabensammlung(Reader) auf dieser Seite:[1], 8.12.2009
Rechnung
Bei dieser Aufgabe wird eine Funktion gesucht, welche die Verkehrsdichte (in Kfz/h) am Graf-von-Galen-Ring in Abhängigkeit von der Tageszeit angibt. Dies bedeutet der 
-Wert der Funktion gibt die Uhrzeit an und der Wert von 
die Verkehrsdichte.
Nebenbedingungen aufstellen
Aus dem Text lassen sich folgende Nebenbedingungen herausfiltern:
- I.
, da um 0 Uhr eine Vehrkersdichte von 400 Kfz/h herrschte.
- II.
, da die Verkehrsdichte um 8 Uhr bei 2100 Kfz/h lag.
- III.
, da der Wert um 8 Uhr zudem der höchste am Tag ist hat hier ein Maximum.
- IV.
, weil wie im Text erwähnt um 14 Uhr die Verkehrsdichte bei 1600 Kfz/h lag.
- V.
, weil gesagt wird, dass die Verkehrsdichte bis 14 Uhr sankt und danach wieder stieg, muss bei 
ein Minimum liegen.
- VI.
, weil im Text von einem Zwischenhoch um 17 Uhr die Rede ist, liegt bei 
ein Maximum.
Da man mit 6 Nebenbedingungen eine ganzrationale Funktion von höchstens fünftem Grad bestimmen kann ist die allgemeine Funktion:
-
mit
-
Gleichungssystem aufstellen
Aus diesen mathematischen Nebenbedingungen lässt sich nun folgendes lineares Gleichungssystem aufstellen:
- I.
- II.
- III.
- IV.
- V.
- VI.
