Eigenwerte und Eigenvektoren (Fixelemente).: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein Eigenvektor einer Abbildung  ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeicnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.
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Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssydtem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreibenEigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.[www.uni-leipzig.de/stksachs/lehrbuecher/.../eigenwerte.pdf ], 14.12.2009
  
 
== Bestimmung von Eigenwerten ==
 
== Bestimmung von Eigenwerten ==

Version vom 14. Dezember 2009, 11:34 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Ein Eigenvektor wird also nur gestreckt, und man bezeicnet den Streckungsfaktor als Eigenwert der Abbildung.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssydtem eindeutig lösbar ist oder nicht. In vielen Anwendungen beschreibenEigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.[www.uni-leipzig.de/stksachs/lehrbuecher/.../eigenwerte.pdf ], 14.12.2009

Bestimmung von Eigenwerten

Gegeben ist die Abbildungsmatrix A=\begin{pmatrix} a & c\\ b & d \end{pmatrix}.

Aufstellen der charakteristischen Gleichung: 

                     det(A-\lambda A)=0<=>(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0\!\,

Die Lösungen \lambda1/\lambda2 dieser Gleichung sind die Eigenwerte. Die charakteristische Gleichung hat eine, zwei oder keine Lösung.

Bestimmung von Eigenvektoren 

Die Eigenvektoren erhält man, indem man das LGS \begin{pmatrix}
a-\lambda & c \\
b & d-\lambda
\end{pmatrix} \vec x=\vec0 löst.

Für den Eigenwert \lambda=1 erhält man eine Fixpunktgerade, für \lambda\ne1 eine Fixgerade.

Beispielaufgaben

Bestimmung der Eigenwerte:

Gegeben ist die Matrix A=\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\!\,

Aufstellen der charakteristischen Gleichung: 

                                           (4-\lambda)(2-\lambda)+1=0\!\,
                                     <=>\lambda^2-6\lambda+8+1=0\!\,
                                     <=>\lambda^2-6\lambda+9=0\!\,
                                     <=>\lambda_{1,2}=3\pm\sqrt{9-9}\!\,
                                     <=>\lambda_{1,2}=3\!\,

=>d.h. nur ein Eigenwert

Bestimmung des Eigenvektors: 

                                          (A-\lambda E)\vec x=\vec 0\!\,
                                    <=>\left[\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\right]\vec x=\vec 0\!\, 
                                    <=>\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\vec x=\vec 0\!\,

                                    <=>I x+y=0\!\,
                                             II -x-y=0\!\,

                                          x+y=0\!\,
                                          0=0\!\,

                                          y=c\!\,
                                    <=> x=-c\!\,

=>\vec x = c{-1 \choose 1}\!\,

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