Darstellung von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KAS-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: Kategorie:Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.)
 
(Kategorie:Analytische Geometrie)
 
(25 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
[[Kategorie:Geraden]]
+
=== Geraden ===
  
 
Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.
 
Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.
 +
 +
In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor <math>\vec s</math> und einen Richtungsvektor <math>\vec r</math> beschrieben.
 +
 +
 +
Die Geradengleichung in Parameterform ist also:
 +
 +
<math>g: \vec x=\vec s+t*\vec r</math>
 +
 +
 +
Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. <math>\vec a</math> der Stützvektor und <math>\overline {BA}</math> der Richtungsvektor.
 +
 +
 +
 +
 +
=== Ebenen ===
 +
 +
 +
==== Parameterform: ====
 +
 +
Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.
 +
 +
Die Parametergleichung für eine Ebene ist:
 +
 +
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>(r, s \in \mathbb{R})</math>
 +
 +
 +
 +
==== Normalenform: ====
 +
 +
<math>[\vec n(\vec x - SV)]= 0</math>
 +
 +
Bei drei gegebenen Vektoren  <math>\vec a</math> <math>\vec b</math> <math>\vec c</math>  bildet man das Kreuzprodukt aus <math> \vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}</math><br />.
 +
Der Stützvektor ist <math>\vec a</math>.
 +
 +
==== Koordinatenform: ====
 +
 +
<math>\! E: ax+by+cz=d</math>
 +
 +
<br /><br />
 +
=== Formumformungen ===
 +
 +
 +
==== Parameterform in Koordinatenform ====
 +
 +
 +
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>\longrightarrow</math> <math>\! E: ax+by+cz=d</math>
 +
 +
<math>\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v</math>
 +
 +
Als lineares Gleichungssystem lösen.
 +
 +
 +
====Parameterform in Normalenform ====
 +
 +
 +
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>\longrightarrow</math> <math>[\vec n(\vec x - SV)]</math>
 +
 +
1) Normalenvektor finden durch <math>\vec n =\vec u \times \vec v</math><br />
 +
2) Der Stützvektor bleibt gleich<br />
 +
Zielgleichung: <math>[\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]</math>
 +
 +
 +
==== Koordinatenform in Parameterform ====
 +
 +
Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.<br />
 +
Bei 2 Spurpunkten S<sub>x</sub>,s<sub>y</sub>: Ebene liegt parallel zur <math>z</math> damit ist der Richtungvektor <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math><br />
 +
 +
 +
====Koordinatenform in Normalenform====
 +
 +
<math>\vec n</math>bestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform  <Math>\! E: ax+by+cz=d</math> also <math>\vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}</math>
 +
Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.
 +
 +
Zielgleichung: <math>[\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}(\vec x - Spurpunkt)]</math>
 +
 +
==== Normalenform in Koordinatenform ====
 +
<br />
 +
 +
Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.
 +
 +
Zielgleichung: <math>\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0</math>
 +
 +
 +
 +
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.

In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor \vec s und einen Richtungsvektor \vec r beschrieben.


Die Geradengleichung in Parameterform ist also:

g: \vec x=\vec s+t*\vec r


Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. \vec a der Stützvektor und \overline {BA} der Richtungsvektor.



Ebenen

Parameterform:

Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.

Die Parametergleichung für eine Ebene ist:

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v (r, s \in \mathbb{R})


Normalenform:

[\vec n(\vec x - SV)]= 0

Bei drei gegebenen Vektoren \vec a \vec b \vec c bildet man das Kreuzprodukt aus \vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}
. Der Stützvektor ist \vec a.

Koordinatenform:

\! E: ax+by+cz=d



Formumformungen

Parameterform in Koordinatenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow \! E: ax+by+cz=d

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v

Als lineares Gleichungssystem lösen.


Parameterform in Normalenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow [\vec n(\vec x - SV)]

1) Normalenvektor finden durch \vec n =\vec u \times \vec v
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Zielgleichung: [\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]


Koordinatenform in Parameterform

Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten Sx,sy: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}


Koordinatenform in Normalenform

\vec nbestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform \! E: ax+by+cz=d also \vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix} Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.

Zielgleichung: [\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}(\vec x - Spurpunkt)]

Normalenform in Koordinatenform


Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.

Zielgleichung: \!n_1ax+n_2by+n_3cz=0

Von „http://kas.zum.de/index.php?title=Darstellung_von_Geraden_und_Ebenen&oldid=5043“