Spatprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

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Mit dem Spatprodukt kann man das Volumen eines Spates, der von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, berechnen.
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== Volumen eines Spats ==
  
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<math>V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}</math>
 
  
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Mit dem '''Spatprodukt''' kann man das Volumen eines Spates, der von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, berechnen.
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<math>V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}</math>
  
 
Zur Berechnung des Kreuzproduktes <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> und des Skalarproduktes <math>\vec{a}\cdot\vec{c}</math> siehe [http://wikis.zum.de/kas/index.php/Skalarprodukt%2C_Vektorprodukt hier].
 
Zur Berechnung des Kreuzproduktes <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> und des Skalarproduktes <math>\vec{a}\cdot\vec{c}</math> siehe [http://wikis.zum.de/kas/index.php/Skalarprodukt%2C_Vektorprodukt hier].
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''Ein Beispiel:''
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Gegeben sind die Vektoren <math>\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}</math> und <math>\vec{c} = \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}</math>
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Gesucht ist V
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Rechnung:
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Als erstes setzt man die gegebenen Vektoren in die Formel <math>V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}</math> ein.
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<math>V = \left(\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}</math>
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Dann berechnet man zu erst das Kreuzprodukt. Man erhält also:
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<math>V = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}</math>
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Daraufhin muss man nur noch das Skalarprodukt berechnen und schon ist man fertig:
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<math> V\! = 6 - 3 = 3 </math>
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Das Volumen des Spats beträgt also 3.
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== Volumen von Pyramiden ==
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Mit dem '''Spatprodukt''' kann man außerdem auch das Volumen einer Pyramide berechnen:
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''Dreiseitige Pyramide:''
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<math>V = \frac{1}{6}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]</math>
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''Vierseitige Pyramide:''
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<math>V = \frac{1}{3}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]</math>

Aktuelle Version vom 3. Dezember 2009, 11:23 Uhr

Volumen eines Spats

Mit dem Spatprodukt kann man das Volumen eines Spates, der von drei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt wird, berechnen.

V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}

Zur Berechnung des Kreuzproduktes \vec{a}\times\vec{b} und des Skalarproduktes \vec{a}\cdot\vec{c} siehe hier.


Ein Beispiel:

Gegeben sind die Vektoren \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} und \vec{c} = \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}

Gesucht ist V


Rechnung:

Als erstes setzt man die gegebenen Vektoren in die Formel V = \left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c} ein.

V = \left(\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}

Dann berechnet man zu erst das Kreuzprodukt. Man erhält also:

V = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\end{pmatrix}

Daraufhin muss man nur noch das Skalarprodukt berechnen und schon ist man fertig:

V\! = 6 - 3 = 3

Das Volumen des Spats beträgt also 3.

Volumen von Pyramiden

Mit dem Spatprodukt kann man außerdem auch das Volumen einer Pyramide berechnen:

Dreiseitige Pyramide:

V = \frac{1}{6}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]

Vierseitige Pyramide:

V = \frac{1}{3}\cdot\left[\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\cdot\vec{c}\right]

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