Ableitungsregeln: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Faktorregel ===
 
=== Faktorregel ===
  
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=== Differenzregel ===
 
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=== Produktregel ===
 
=== Produktregel ===
  
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<math>f\!(x)=u(x)*v(x)</math>
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=> <math>f\!\,'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)</math>
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=> <math>f\!\,'(x)=\frac{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^2}</math>
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=> <math>f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}</math>
  
  
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<math>f\!(x)=g(h(x))</math>
  
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=> <math>f\!\,'(x)=h'(x)*g'(h(x))</math>
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=> <math>f\!\,'(x)=h'(x) \cdot g'(h(x))</math>
  
  
 
=== Umkehrregel ===
 
=== Umkehrregel ===
  
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<math>{f\!^-\,^1(y)}</math>
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<math>f\!^-\,^1(y)\ \mathrm{sei\ die\ Umkerhfunktion\ zu\ y=f(x)}</math>
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<math>(\!f\!^-\,^1)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\ \mathrm{oder}\ (\!f\!^-\,^1)'(f\!(x)) \cdot f\!\,'(x)=1</math>
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== Beispiele ==
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=== Summenregel ===
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<math>f\!(x)=3x^2+5x</math>
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=> <math>f\!\,'(x)=(3x^2+5x)'=(3x^2)'+(5x)'=6x+5</math>
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=== Produktregel ===
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==== Beispiel 1 ====
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<math>f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)</math>
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<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
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u(x)=4x^3-2x+1\\
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v(x)=x^2-2x+5
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\end{cases}</math>
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<math>\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases}
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u'(x)=12x^2-2\\
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v'(x)=2x-2
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\end{cases}</math>
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<math>f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)</math>
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<math>f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2</math>
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}</math>
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==== Beispiel 2 ====
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<math>f\!(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)</math>
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<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
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u(x)=\sin(x)\\
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v(x)=\cos(x)
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\end{cases}</math>
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<math>\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases}
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u'(x)=\cos(x)\\
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v'(x)=-\sin(x)
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\end{cases}</math>
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<math>f\!\,'(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)+\sin(x) \cdot (-\sin(x))</math>
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}</math>
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==== Beispiel 3 ====
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<math>f\!(x)=x^n \cdot e^{x}</math>
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<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
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u(x)=x^n\\
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v(x)=e^{x}
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\end{cases}</math>
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<math>\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases}
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u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\
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v'(x)=e^{x}
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\end{cases}</math>
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<math>f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})</math>
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}</math>
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=== Quotientenregel ===
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==== Beispiel ====
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<math>f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}</math>
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<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
 +
u(x)=1-2x\\
 +
v(x)=4+3x^2
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\end{cases}</math>
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<math>
 +
\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}
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\begin{cases}
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u'(x)=-2\\
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v'(x)=6x
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\end{cases}
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<math>f\!\,'(x)=\frac{(-2) \cdot (4+3x^2)-(1-2x) \cdot (6x)}{(4+3x^2)^2}</math>
 +
 
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}}}}</math>
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=== Kettenregel ===
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==== Beispiel ====
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<math>f\!(x)=e^{(x^2+2x)}</math>
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<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
 +
u(x)=e^x\\
 +
v(x)=x^2+2x
 +
\end{cases}</math>
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<math>
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\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}
 +
\begin{cases}
 +
u'(x)=e^x\\
 +
v'(x)=2x+2
 +
\end{cases}
 +
</math>
 +
 
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{e^{(x^2+2x)} \cdot (2x+2)}}}</math>

Aktuelle Version vom 7. Dezember 2009, 10:46 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ableitungsregeln

Potenzregel

f\!(x)=x^n

=> f\!\,'(x)=nx^{n-1}


Summenregel

f\!(x)=g(x)+h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)


Faktorregel

f\!(x)=k \cdot g(x)

=> f\!\,'(x)=k \cdot g'(x)


Differenzregel

f\!(x)=g(x)-h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)-h'(h)


Produktregel

f\!(x)=u(x) \cdot v(x)

=> f\!\,'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)


Quotientenregel

f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}


=> f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}


Kettenregel

f\!(x)=g(h(x))

=> f\!\,'(x)=h'(x) \cdot g'(h(x))


Umkehrregel

f\!^-\,^1(y)\ \mathrm{sei\ die\ Umkerhfunktion\ zu\ y=f(x)}

(\!f\!^-\,^1)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\ \mathrm{oder}\ (\!f\!^-\,^1)'(f\!(x)) \cdot f\!\,'(x)=1


Beispiele

Summenregel

Beispiel

f\!(x)=3x^2+5x

=> f\!\,'(x)=(3x^2+5x)'=(3x^2)'+(5x)'=6x+5


Produktregel

Beispiel 1

f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)


\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}


f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)

f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}


Beispiel 2

f\!(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=\sin(x)\\ v(x)=\cos(x) \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=\cos(x)\\ v'(x)=-\sin(x) \end{cases}


f\!\,'(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)+\sin(x) \cdot (-\sin(x))

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}


Beispiel 3

f\!(x)=x^n \cdot e^{x}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}


f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}


Quotientenregel

Beispiel

f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=1-2x\\ v(x)=4+3x^2 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=-2\\ v'(x)=6x \end{cases}


f\!\,'(x)=\frac{(-2) \cdot (4+3x^2)-(1-2x) \cdot (6x)}{(4+3x^2)^2}

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}}}}


Kettenregel

Beispiel

f\!(x)=e^{(x^2+2x)}


\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=e^x\\ v(x)=x^2+2x \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=e^x\\ v'(x)=2x+2 \end{cases}


f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{e^{(x^2+2x)} \cdot (2x+2)}}}

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