Flächenberechnungen: Unterschied zwischen den Versionen

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Umfang U: <math>U=a+b+c</math> Flächeninhalt A: <math>A=\frac{a*h_a}{2}</math> <math>A=\frac{b*h_b}{2}</math> <math>A=\frac{c*h_c}{2}</math>
  
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-Grund- und Decklinien sin parallel.
 
  
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-Alle Seiten sind gleichlang.<br />
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*Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
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-Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.<br />
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*Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
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-Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
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*Die Diagonalen halbieren sich.
  
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'''Kreis'''
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Umfang U: <math>U=2*(a+b)</math> Flächeninhalt A: <math>A=a*h_a</math> <math>A=b*h_b</math>
  
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-Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.<br />
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-Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.<br />
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-Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.
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*Grund- und Decklinien sind parallel.
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Umfang U: <math>U=a+b+c+d</math> Flächeninhalt A: <math>A=\frac{a+c}{2}*h</math>
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*Alle Seiten sind gleichlang.
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*Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
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*Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
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Umfang U: <math>U=4*a</math> Flächeninhalt A: <math>A=a*h_a</math>
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== Drachen ==
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*Die benachbarten Seiten sind gleichlang.
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*Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
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*Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
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Umfang U: <math>U=2*(a+b)</math> Flächeninhalt A: <math>A=\frac{e*f}{2}</math>
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== Kreis ==
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*Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.
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*Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.
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*Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.
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Umfang U: <math>U=2*r*\pi</math> Flächeninhalt A: <math>A=\pi*r^2</math>
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== Berechnung von Flächen durch Integrale ==
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Gesucht ist der Flächeninhalt den eine gegebene Funktion mit einer anderen Funktion oder der x-Achse einschließt.
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Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.
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# Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
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# Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
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# Funktion und lim: Das Intervall geht gegen <math>\lim_{x \to \infty}</math>
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==== Formeln ====
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*Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.
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<math>F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx</math>
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*Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> und <math>g(x)=ex^2+f</math>
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Zunächst werden die Schnittstellen h;i berechnet und als Intervall verwendet.Der größere Graph in diesem Intervall wird mit dem kleineren suptraiert.
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<math>F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx</math>
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*Zu beachten ist hierbei das bei Integralen mit mehreren Intervallen, das auch die größe der Funktionen vareieren können so auch bei  <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> ; <math>g(x)=ex+f</math>  und dem Intervall [h;i;j].
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<math>F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx</math>
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Man sollte darauf achten nach dem Integrieren die Flächen zu addieren.
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*Gesucht ist der Flächeninhalt wenn das Intervall gegen <math>\lim_{n \to \infty}</math> geht.
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<math>F(x)=\int_{a}^{lim_{x \to \infty}} f(x)\,dx</math>

Aktuelle Version vom 7. Dezember 2009, 09:39 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Quadrat

  • Alle Seiten sind gleichlang.
  • Alle Winkel sind 90°.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: U=4*a Flächeninhalt A: A=a^2


Rechteck

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
  • Alle Winkel sind 90°.
  • Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=a*b


Dreieck

  • Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.

Umfang U: U=a+b+c Flächeninhalt A: A=\frac{a*h_a}{2} A=\frac{b*h_b}{2} A=\frac{c*h_c}{2}


Parallelogramm

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen halbieren sich.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=a*h_a A=b*h_b


Trapez

  • Grund- und Decklinien sind parallel.

Umfang U: U=a+b+c+d Flächeninhalt A: A=\frac{a+c}{2}*h


Raute

  • Alle Seiten sind gleichlang.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: U=4*a Flächeninhalt A: A=a*h_a


Drachen

  • Die benachbarten Seiten sind gleichlang.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=\frac{e*f}{2}


Kreis

  • Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.
  • Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.
  • Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.

Umfang U: U=2*r*\pi Flächeninhalt A: A=\pi*r^2


Berechnung von Flächen durch Integrale

Gesucht ist der Flächeninhalt den eine gegebene Funktion mit einer anderen Funktion oder der x-Achse einschließt.

Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.

  1. Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
  2. Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
  3. Funktion und lim: Das Intervall geht gegen \lim_{x \to \infty}


Formeln

  • Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.

F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx

  • Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und g(x)=ex^2+f

Zunächst werden die Schnittstellen h;i berechnet und als Intervall verwendet.Der größere Graph in diesem Intervall wird mit dem kleineren suptraiert.

F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx

  • Zu beachten ist hierbei das bei Integralen mit mehreren Intervallen, das auch die größe der Funktionen vareieren können so auch bei f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; g(x)=ex+f und dem Intervall [h;i;j].

F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx

Man sollte darauf achten nach dem Integrieren die Flächen zu addieren.

  • Gesucht ist der Flächeninhalt wenn das Intervall gegen \lim_{n \to \infty} geht.

F(x)=\int_{a}^{lim_{x \to \infty}} f(x)\,dx

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