Flächenberechnungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aus KAS-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(6 dazwischenliegende Versionen von 3 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
'''<u>Flächenberechnung:</u>'''
+
<!--'''<u>Flächenberechnung:</u>'''-->
 +
== Quadrat ==
  
 +
*Alle Seiten sind gleichlang.
 +
*Alle Winkel sind 90°.
 +
*Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich.
  
−
'''Quadrat'''
+
Umfang U: <math>U=4*a</math> Flächeninhalt A: <math>A=a^2</math>
  
−
-Alle Seiten sind gleichlang.<br />
 
−
-Alle Winkel sind 90°.<br />
 
−
-Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich.
 
  
−
'''Rechteck'''
+
== Rechteck ==
  
−
-Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.<br />
+
*Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
−
-Alle Winkel sind 90°.<br />
+
*Alle Winkel sind 90°.
−
-Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.
+
*Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.
  
−
'''Dreieck'''
+
Umfang U: <math>U=2*(a+b)</math> Flächeninhalt A: <math>A=a*b</math>
  
−
-Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.
 
  
−
'''Parallelogramm'''
+
== Dreieck ==
  
−
-Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.<br />
+
*Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.
−
-Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.<br />
+
−
-Die Diagonalen halbieren sich.
+
  
−
'''Trapez'''
+
Umfang U: <math>U=a+b+c</math> Flächeninhalt A: <math>A=\frac{a*h_a}{2}</math> <math>A=\frac{b*h_b}{2}</math> <math>A=\frac{c*h_c}{2}</math>
  
−
-Grund- und Decklinien sin parallel.
 
  
−
'''Raute'''
+
== Parallelogramm ==
  
−
-Alle Seiten sind gleichlang.<br />
+
*Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
−
-Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.<br />
+
*Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
−
-Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
+
*Die Diagonalen halbieren sich.
  
−
'''Kreis'''
+
Umfang U: <math>U=2*(a+b)</math> Flächeninhalt A: <math>A=a*h_a</math> <math>A=b*h_b</math>
  
−
-Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.<br />
+
 
−
-Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.<br />
+
== Trapez ==
−
-Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.
+
 
 +
*Grund- und Decklinien sind parallel.
 +
 
 +
Umfang U: <math>U=a+b+c+d</math> Flächeninhalt A: <math>A=\frac{a+c}{2}*h</math>
 +
 
 +
 
 +
== Raute ==
 +
 
 +
*Alle Seiten sind gleichlang.
 +
*Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
 +
*Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
 +
 
 +
Umfang U: <math>U=4*a</math> Flächeninhalt A: <math>A=a*h_a</math>
 +
 
 +
 
 +
== Drachen ==
 +
 
 +
*Die benachbarten Seiten sind gleichlang.
 +
*Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
 +
*Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
 +
 
 +
Umfang U: <math>U=2*(a+b)</math> Flächeninhalt A: <math>A=\frac{e*f}{2}</math>
 +
 
 +
 
 +
== Kreis ==
 +
 
 +
*Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.
 +
*Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.
 +
*Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.
 +
 
 +
Umfang U: <math>U=2*r*\pi</math> Flächeninhalt A: <math>A=\pi*r^2</math>
  
  
Zeile 48: Zeile 75:
 
Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.
 
Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.
  
−
1. Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
+
# Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
−
 
+
# Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
−
2. Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
+
# Funktion und lim: Das Intervall geht gegen <math>\lim_{x \to \infty}</math>
−
 
+
−
3.Funktion und lim: Das Intervall geht gegen <math>\lim_{n \to \infty}</math>
+
  
  
 
==== Formeln ====
 
==== Formeln ====
  
−
Gesucht ist Flächeninhalt zwischen <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.
+
*Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.
  
 
<math>F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx</math>
 
<math>F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx</math>
 +
 +
*Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> und <math>g(x)=ex^2+f</math>
 +
 +
Zunächst werden die Schnittstellen h;i berechnet und als Intervall verwendet.Der größere Graph in diesem Intervall wird mit dem kleineren suptraiert.
 +
 +
<math>F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx</math>
 +
 +
*Zu beachten ist hierbei das bei Integralen mit mehreren Intervallen, das auch die größe der Funktionen vareieren können so auch bei  <math>f(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> ; <math>g(x)=ex+f</math>  und dem Intervall [h;i;j].
 +
 +
<math>F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx</math>
 +
 +
Man sollte darauf achten nach dem Integrieren die Flächen zu addieren.
 +
 +
*Gesucht ist der Flächeninhalt wenn das Intervall gegen <math>\lim_{n \to \infty}</math> geht.
 +
 +
<math>F(x)=\int_{a}^{lim_{x \to \infty}} f(x)\,dx</math>

Aktuelle Version vom 7. Dezember 2009, 09:39 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Quadrat

  • Alle Seiten sind gleichlang.
  • Alle Winkel sind 90°.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: U=4*a Flächeninhalt A: A=a^2


Rechteck

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
  • Alle Winkel sind 90°.
  • Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=a*b


Dreieck

  • Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.

Umfang U: U=a+b+c Flächeninhalt A: A=\frac{a*h_a}{2} A=\frac{b*h_b}{2} A=\frac{c*h_c}{2}


Parallelogramm

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen halbieren sich.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=a*h_a A=b*h_b


Trapez

  • Grund- und Decklinien sind parallel.

Umfang U: U=a+b+c+d Flächeninhalt A: A=\frac{a+c}{2}*h


Raute

  • Alle Seiten sind gleichlang.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: U=4*a Flächeninhalt A: A=a*h_a


Drachen

  • Die benachbarten Seiten sind gleichlang.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=\frac{e*f}{2}


Kreis

  • Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.
  • Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.
  • Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.

Umfang U: U=2*r*\pi Flächeninhalt A: A=\pi*r^2


Berechnung von Flächen durch Integrale

Gesucht ist der Flächeninhalt den eine gegebene Funktion mit einer anderen Funktion oder der x-Achse einschließt.

Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.

  1. Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
  2. Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
  3. Funktion und lim: Das Intervall geht gegen \lim_{x \to \infty}


Formeln

  • Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.

F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx

  • Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und g(x)=ex^2+f

Zunächst werden die Schnittstellen h;i berechnet und als Intervall verwendet.Der größere Graph in diesem Intervall wird mit dem kleineren suptraiert.

F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx

  • Zu beachten ist hierbei das bei Integralen mit mehreren Intervallen, das auch die größe der Funktionen vareieren können so auch bei f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; g(x)=ex+f und dem Intervall [h;i;j].

F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx

Man sollte darauf achten nach dem Integrieren die Flächen zu addieren.

  • Gesucht ist der Flächeninhalt wenn das Intervall gegen \lim_{n \to \infty} geht.

F(x)=\int_{a}^{lim_{x \to \infty}} f(x)\,dx

Von „http://kas.zum.de/index.php?title=Flächenberechnungen&oldid=476“