Affine Abbildungen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 7. Dezember 2009, 16:57 Uhr

Eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich selbst nennt man eine affine Abbildung oder Affinität.

Die affine Abbildung bildet ein neues Koordinatensystem.

Die einzelnen Spalten der Matrix dürfen nicht linear abhängig sein.

$A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}$

$\vec x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$A*\vec x$

$\vec x\,'=A*\vec x+\vec c$

LGS:

$\vec x_1\,'=a_1x_1*b_1x_2+c_1$

$\vec x_2\,'=a_2x_1+b_2x_2+c_2$

Abbildung	Flächeninhalt	Fixpunkte, Fixgeraden	Matrixdarstellung
Spiegelung an der Ursprungsgeraden	A bleibt gleich	(0/0) Spiegelgerade (Fixgerade)	$M=\begin{pmatrix} cos2\varphi & sin2\varphi \\ sin2\varphi & -cos2\varphi \end{pmatrix}$
zentrische Streckung	$\!A'= 3^2A$	(0/0) x-und y-Achse jede Gerade $y=a*x$	$M*\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$
Drehung	A bleibt gleich	(0/0)	$M=\begin{pmatrix} cos\varphi & sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}$
Skalierung	$\!A'=2*4A$	(0/0) x- und y-Achse
Scherung	$\!A'=A$	(0/0) x- oder y-Achse

$\varphi$ ist der Winkel, um den die Funktion gespiegelt bzw. gedreht wird.

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 <math>\vec x_2\,'=a_2x_1+b_2x_2+c_2</math>
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+! Abbildung || Flächeninhalt || Fixpunkte, Fixgeraden || Matrixdarstellung
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+| Spiegelung an der Ursprungsgeraden || A bleibt gleich || (0/0) Spiegelgerade (Fixgerade) || <math>M=\begin{pmatrix} cos2\varphi & sin2\varphi \\ sin2\varphi & -cos2\varphi \end{pmatrix}</math>
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+| zentrische Streckung || <math>\!A'= 3^2A</math> || (0/0) x-und y-Achse jede Gerade <math>y=a*x</math> || <math>M*\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}</math>
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+| Drehung || A bleibt gleich || (0/0) || <math>M=\begin{pmatrix} cos\varphi & sin\varphi \\ -sin\varphi & cos\varphi \end{pmatrix}</math>
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+| Skalierung || <math>\!A'=2*4A</math> || (0/0) x- und y-Achse
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+| Scherung || <math>\!A'=A</math> || (0/0) x- oder y-Achse
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+<math>\varphi</math> ist der Winkel, um den die Funktion gespiegelt bzw. gedreht wird.