Ableitungsregeln.: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>f\!(x)=x^2</math>
 
<math>f\!(x)=x^2</math>
  
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=> <math>f\!\,'(x)=2x^{2-1}=</math><math>\!\,2x</math>
+
=> <math>f\!\,'(x)=2x^{2-1}=</math><math>\!\,\boldsymbol{\underline{\underline{2x}}}</math>
  
 
=== Summenregel ===
 
=== Summenregel ===
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<math>f\!(x)=x^3+x^2</math>
 
<math>f\!(x)=x^3+x^2</math>
  
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=> <math>f\!\,'(x)= (x^3)' + (x^2)' = 3x^2 + 2x </math>
+
=> <math>f\!\,'(x)= (x^3)' + (x^2)' = \boldsymbol{\underline{\underline{3x^2 + 2x}}} </math>
  
  
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<math>f\!(x)=6x^5</math>
 
<math>f\!(x)=6x^5</math>
  
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=> <math>f\!\,'(x)=6*5x^{(5-1)} = 30x^4 </math>
+
=> <math>f\!\,'(x)=6*5x^{(5-1)} = \boldsymbol{\underline{\underline{30x^4}}} </math>
  
  
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<math>f\!(x)=g(x)-h(x)</math>
 
<math>f\!(x)=g(x)-h(x)</math>
  
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=> <math>f\!\,'(x)=g'(x)-h'(h)</math>
+
=> <math>f\!\,'(x)=g'(x)-h'(x)</math>
  
  
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<math>f\!(x)=x^9-x^7</math>
 
<math>f\!(x)=x^9-x^7</math>
  
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=> <math>f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = 9x^8 + 7x^6 </math>
+
=> <math>f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 - 7x^6}}} </math>
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=== Produktregel ===
 
=== Produktregel ===
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==== Beispiel 2 ====
 
  
  
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<math>f\!(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)</math>
+
==== Beispiel 2 ====
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<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
+
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u(x)=\sin(x)\\
+
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v(x)=\cos(x)
+
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\end{cases}</math>
+
−
 
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−
<math>\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases}
+
−
u'(x)=\cos(x)\\
+
−
v'(x)=-\sin(x)
+
−
\end{cases}</math>
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+
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<math>f\!\,'(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)+\sin(x) \cdot (-\sin(x))</math>
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+
−
<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}</math>
+
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==== Beispiel 3 ====
+
  
  
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}</math>
 
<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}</math>
−
 
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=== Quotientenregel ===
 
=== Quotientenregel ===
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=== Kettenregel ===
 
=== Kettenregel ===
  
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<math>f\!(x)=g(h(x))</math>
+
<math>f\!(x)=g(h(x))</math> bzw. <math>f\!(x)=g(u)</math> mit <math>u=h\!(x)</math>
  
−
=> <math>f\!\,'(x)=h'(x) \cdot g'(h(x))</math>
+
=> <math>f\!\,'(x)=h'(u) \cdot g'(h(x))</math>
  
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Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.
  
 
==== Beispiel ====
 
==== Beispiel ====
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<math>f\!(x) = (x^2 + 2x)^2</math> <br />
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<math>f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math>
  
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 +
==== Hilfestellung ====
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<math>f\!(x) = u(v(x))</math><br />
 +
<math>f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)</math>
 +
 +
'''Beispiel von oben:'''
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<math>f\! (x) = (x^2 + 2x)^2</math>
 +
 +
<math>u\!  =  ()^2</math><math>u\! ' = 2()</math> <br />
 +
<math>v\! = x^2+2x </math><math>v\! ' = 2x+2</math>
 +
 +
 +
<math>f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2) </math><br />
 +
Also: <math>f\! '(x) = u'  (v(x)) * v'(x)</math>
  
 
=== Umkehrregel ===
 
=== Umkehrregel ===
  
−
<math>f\!^-\,^1(y)\ \mathrm{sei\ die\ Umkerhfunktion\ zu\ y=f(x)}</math>
+
<math>x=g(y)\ Umkehrfunktion\ von\ y=f(x)</math>
  
−
<math>(\!f\!^-\,^1)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\ \mathrm{oder}\ (\!f\!^-\,^1)'(f\!(x)) \cdot f\!\,'(x)=1</math>
+
<math>=>\ g'(y)= \frac{1}{f'(x)}</math>
  
 +
=== Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen ===
  
−
==== Beispiel ====
 
  
  
 +
{| class="wikitable center"
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|- style="background: #DDFFDD;"
 +
! <math>\!f(x)</math>
 +
! <math>\!f'(x)</math>
 +
! <math>\!f''(x)</math>
 +
|-
 +
| <math>\!a= konstante Zahl</math>
 +
| <math>\!0</math>
 +
| <math>\!0</math>
 +
|-
 +
| <math>\!x^n</math>
 +
| <math>\!nx^{(n-1)}</math>
 +
| <math>\!n(n-1)x^{(n-2)}</math>
 +
|-
 +
| <math>\sqrt{x}</math>
 +
| <math>\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
 +
| <math>-\frac{1}{4x\sqrt{x}}</math>
 +
|-
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| <math>\!e^x</math>
 +
| <math>\!e^x</math>
 +
| <math>\!e^x</math>
 +
|-
 +
| <math>\!a^x</math>
 +
| <math>\!a^x*ln\ a</math>
 +
| <math>\!a^x*(ln\ a)^2</math>
 +
|-
 +
| <math>\! log_a x</math>
 +
| <math>\! \frac{1}{x*ln\ a}</math>
 +
| <math>\! \frac{-1}{x^2*ln\ a}</math>
 +
|-
 +
| <math>\! ln\ x</math>
 +
| <math>\! \frac{1}{x}</math>
 +
| <math>\! -\frac{1}{x^2}</math>
 +
|-
 +
|}
  
−
=== Besondere Ableitungen ===
+
[[Kategorie:Funktionen]]

Aktuelle Version vom 9. Dezember 2013, 09:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ableitungsregeln

Potenzregel

f\!(x)=x^n

=> f\!\,'(x)=nx^{n-1}


Beispiel

f\!(x)=x^2

=> f\!\,'(x)=2x^{2-1}=\!\,\boldsymbol{\underline{\underline{2x}}}

Summenregel

f\!(x)=g(x)+h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)


Beispiel

f\!(x)=x^3+x^2

=> f\!\,'(x)= (x^3)' + (x^2)' = \boldsymbol{\underline{\underline{3x^2 + 2x}}}


Faktorregel

f\!(x)=k \cdot g(x)

=> f\!\,'(x)=k \cdot g'(x)


Beispiel

f\!(x)=6x^5

=> f\!\,'(x)=6*5x^{(5-1)} = \boldsymbol{\underline{\underline{30x^4}}}


Differenzregel

f\!(x)=g(x)-h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)-h'(x)


Beispiel

f\!(x)=x^9-x^7

=> f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 - 7x^6}}}

Produktregel

f\!(x)=u(x) \cdot v(x)

=> f\!\,'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)


Beispiel 1

f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)


\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}


f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)

f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}



Beispiel 2

f\!(x)=x^n \cdot e^{x}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}


f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}

Quotientenregel

f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

=> f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}


Beispiel

f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=1-2x\\ v(x)=4+3x^2 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=-2\\ v'(x)=6x \end{cases}


f\!\,'(x)=\frac{(-2) \cdot (4+3x^2)-(1-2x) \cdot (6x)}{(4+3x^2)^2}

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}}}}


Kettenregel

f\!(x)=g(h(x)) bzw. f\!(x)=g(u) mit u=h\!(x)

=> f\!\,'(x)=h'(u) \cdot g'(h(x))

Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.

Beispiel

f\!(x) = (x^2 + 2x)^2
f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2)


Hilfestellung

f\!(x) = u(v(x))
f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)

Beispiel von oben: f\! (x) = (x^2 + 2x)^2

u\! = ()^2u\! ' = 2()
v\! = x^2+2x v\! ' = 2x+2


f\! '(x) =2(x^2 + 2x)*(2x + 2)
Also: f\! '(x) = u' (v(x)) * v'(x)

Umkehrregel

x=g(y)\ Umkehrfunktion\ von\ y=f(x)

=>\ g'(y)= \frac{1}{f'(x)}

Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen

\!f(x) \!f'(x) \!f''(x)
\!a= konstante Zahl \!0 \!0
\!x^n \!nx^{(n-1)} \!n(n-1)x^{(n-2)}
\sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} -\frac{1}{4x\sqrt{x}}
\!e^x \!e^x \!e^x
\!a^x \!a^x*ln\ a \!a^x*(ln\ a)^2
\! log_a x \! \frac{1}{x*ln\ a} \! \frac{-1}{x^2*ln\ a}
\! ln\ x \! \frac{1}{x} \! -\frac{1}{x^2}
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