Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen

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== Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse ==
 
== Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse ==
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Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:
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<math>--> A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx, falls f(x)\ge0</math>
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<math>--> A=-\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math>        <math>falls f(x)\le0</math>
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denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.
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Beispielaufgaben:
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Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse
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--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.
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Lösung: Da <math>f(x)\ge0</math> für <math>x\in\ [-1,1]</math> ist, gilt:
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<math>A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3]
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= \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})=  \frac{2}{3}</math>
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Der Flächeninhalt beträgt <math>A= \frac{2}{3}</math>
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Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse
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--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.
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Lösung: Da <math>f(x)\le0</math> für <math>x\in\ [-1,3]</math> ist, gilt:
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<math>A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}</math>
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Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt <math>A= \frac{7}{3}</math>
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Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:
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1.) Berechnung der Nullstellen von f
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2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen
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3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.
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<math>A=\int_{a}^{N} f(x)\, dx+\int_{N}^{b} f(x)\, dx</math>
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Beispielaufgabe:
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Beispiel3: Fläche teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse
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Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5x^3-2x (Fig.3).
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Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [-1;2,5] einschließen.
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Lösung:
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1.) Nullstellen berechnen --> f(x)=0
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<math>\begin{matrix}
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0,5x^3-2x&=& 0 \\
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\ x(0,5x^2-2)& =& 0\\
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\ x=0 ; 0,5x^2-2& =& 0\\
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\ x& =& \pm2 
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\end{matrix}</math>
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2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen
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für <math>-1 \le x \le 0</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>  ---> denn f(-1)=1,5
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für <math>0 \le x \le 2</math> gilt <math>f(x) \le 0</math>      ---> denn f(1)=-1,5
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für <math>2 \le x \le 2,5</math> gilt <math>f(x) \ge 0</math>    ---> denn f(2,3)=1,4835
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3.) Flächeninhalt berechnen
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<math>\begin{matrix}
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A&=&  \int_{-1}^{0} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{0}^{2} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{2}^{2,5} 0,5x^3-2x\, dx \\
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\ & =& [\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2] \\
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\ & =& (0-(-\frac{7}{8}))+(|-2-0|)+(-\frac{175}{128})-(-2) \\
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\ & =& \frac{7}{8}+2+\frac{81}{128} \\
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\ & =& 3,51
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\end{matrix}</math>
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Der Flächeninhalt beträgt ungefähr A=3,51
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== Flächen zwischen zwei Graphen f und g ==
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Falls sich die Graphen f und g schneiden, gilt teilweise <math>f(x) \ge g(x)</math> und teilweise <math>g(x) \ge f(x)</math>.
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Zur Bestimmung von A geht man deshalb so vor:
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1.) Berechnung der Schnittpunkte von f und g (gleichsetzen!)
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2.) Bestimmung, in welchen Teilintervallen <math>f(x) \ge g(x)</math> bzw. <math>g(x) \ge f(x)</math> gilt.
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3.) Berechnung des Flächeninhalts
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<math>A=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx+\int_{b}^{c} g(x)-f(x)\, dx

Aktuelle Version vom 1. Mai 2011, 15:44 Uhr

Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse

Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:

--> A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx, falls f(x)\ge0

--> A=-\int_{a}^{b} f(x)\, dx falls f(x)\le0

denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.


Beispielaufgaben:

Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.

Lösung: Da f(x)\ge0 für x\in\ [-1,1] ist, gilt:

A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3] = \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})= \frac{2}{3}

Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{2}{3}


Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.

Lösung: Da f(x)\le0 für x\in\ [-1,3] ist, gilt:

A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}

Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{7}{3}


Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:

1.) Berechnung der Nullstellen von f

2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen

3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert. 

A=\int_{a}^{N} f(x)\, dx+\int_{N}^{b} f(x)\, dx


Beispielaufgabe:

Beispiel3: Fläche teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse


Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5x^3-2x (Fig.3).

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [-1;2,5] einschließen.

Lösung:

1.) Nullstellen berechnen --> f(x)=0

\begin{matrix} 0,5x^3-2x&=& 0 \\ \ x(0,5x^2-2)& =& 0\\ \ x=0 ; 0,5x^2-2& =& 0\\ \ x& =& \pm2 \end{matrix}

2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen

für -1 \le x \le 0 gilt f(x) \ge 0 ---> denn f(-1)=1,5

für 0 \le x \le 2 gilt f(x) \le 0 ---> denn f(1)=-1,5

für 2 \le x \le 2,5 gilt f(x) \ge 0 ---> denn f(2,3)=1,4835

3.) Flächeninhalt berechnen

\begin{matrix} A&=& \int_{-1}^{0} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{0}^{2} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{2}^{2,5} 0,5x^3-2x\, dx \\ \ & =& [\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2] \\ \ & =& (0-(-\frac{7}{8}))+(|-2-0|)+(-\frac{175}{128})-(-2) \\ \ & =& \frac{7}{8}+2+\frac{81}{128} \\ \ & =& 3,51 \end{matrix}

Der Flächeninhalt beträgt ungefähr A=3,51

Flächen zwischen zwei Graphen f und g

Falls sich die Graphen f und g schneiden, gilt teilweise f(x) \ge g(x) und teilweise g(x) \ge f(x).

Zur Bestimmung von A geht man deshalb so vor:

1.) Berechnung der Schnittpunkte von f und g (gleichsetzen!)

2.) Bestimmung, in welchen Teilintervallen f(x) \ge g(x) bzw. g(x) \ge f(x) gilt.

3.) Berechnung des Flächeninhalts 

A=\int_{a}^{b} (f(x)-g(x))\, dx+\int_{b}^{c} g(x)-f(x)\, dx
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