Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert. | 3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert. | ||
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3.) Berechnung des Flächeninhalts | 3.) Berechnung des Flächeninhalts | ||
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Aktuelle Version vom 1. Mai 2011, 15:44 Uhr
Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse
Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:
denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.
Beispielaufgaben:
Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.
Lösung: Da 
für ![x\in\ [-1,1]](/images/math/b/8/c/b8c773b6de0758bb1167e2bb6d2b0569.png)
ist, gilt:
![A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3]
= \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})= \frac{2}{3}](/images/math/c/e/3/ce3fb92ea679f57b69072e193ffff83a.png)
Der Flächeninhalt beträgt 
Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.
Lösung: Da 
für ![x\in\ [-1,3]](/images/math/4/d/0/4d0017cb5d984bbac3d4692906648585.png)
ist, gilt:
![A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}](/images/math/4/b/d/4bd409b55c1295780fe04a9e78f37454.png)
Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt 
Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:
1.) Berechnung der Nullstellen von f
2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen
3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.
Beispielaufgabe:
Beispiel3: Fläche teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5x^3-2x (Fig.3).
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [-1;2,5] einschließen.
Lösung:
1.) Nullstellen berechnen --> f(x)=0
2.) Vorzeichen der jeweiligen Teilflächen bestimmen
für 
gilt ---> denn f(-1)=1,5
für 
gilt ---> denn f(1)=-1,5
für 
gilt ---> denn f(2,3)=1,4835
3.) Flächeninhalt berechnen
![\begin{matrix}
A&=& \int_{-1}^{0} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{0}^{2} 0,5x^3-2x\, dx+\int_{2}^{2,5} 0,5x^3-2x\, dx \\
\ & =& [\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2]+[\frac{1}{8}x^4-x^2] \\
\ & =& (0-(-\frac{7}{8}))+(|-2-0|)+(-\frac{175}{128})-(-2) \\
\ & =& \frac{7}{8}+2+\frac{81}{128} \\
\ & =& 3,51
\end{matrix}](/images/math/a/d/9/ad9ff730856ecfcd9e70eb2136ce8a52.png)
Der Flächeninhalt beträgt ungefähr A=3,51
Flächen zwischen zwei Graphen f und g
Falls sich die Graphen f und g schneiden, gilt teilweise 
und teilweise 
.
Zur Bestimmung von A geht man deshalb so vor:
1.) Berechnung der Schnittpunkte von f und g (gleichsetzen!)
2.) Bestimmung, in welchen Teilintervallen bzw. gilt.
3.) Berechnung des Flächeninhalts
