Extremwertaufgaben.: Unterschied zwischen den Versionen

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| Nebenbedingungen ausnutzen || <math>12= \sqrt{a^2+b^2}
 
| Nebenbedingungen ausnutzen || <math>12= \sqrt{a^2+b^2}
  
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=> 144= a^2+b^2 </math>
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Version vom 23. November 2010, 13:40 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Definition:

Extremwertprobleme sind Aufgaben, in denen eine Größe optimiert werden soll. Dazu wird eine Zielgröße mithilfe einer Zielfunktion dargestellt, die meistens von zwei Variablen abhängig ist. Durch Ausnutzen einer Nebenbedingung kann eine der Variablen durch die andere ausgedrückt werden. (Kurvendiskussion)

Lösungsansatz:

  1. Zielfunktion aufstellen.
  2. Prüfen, ob Zielfunktion von Nebenbedingungen abhängt.
  3. Nebenbedingung suchen (Um Variablen in Beziehung zu bringen).
  4. Ableiten. (Ableitungsregeln.)
  5. Extrempunkte bestimmen (Extrempunkte).
  6. Rand des Definitionsbereiches auf globale Extremstellen prüfen. (Grenzverhalten)

Beispiele

Beispiel 1

Ein Schäfer benötigt für seine Schafherde ein rechteckigen Pferch mit einem Flächeninhalt von 500m². Wie soll er die Maße des Rechtecks wählen, damit für eine Umzäunung möglichst wenig Material benötigt wird, wenn eine Rechteckseite von einem Bach gebildet wird?

Lösung:

  1. Die gesuchte Zielfunktion soll die Seitenlängen des Zauns angeben, bei denen ein möglichst geringer Materialverbrauch, also ein möglichst kleiner Umfang, entsteht. Des Weiteren soll eine Fläche von 500 m² entstehen. Der Umfang ist abhängig vom Flächeninhalt, die Zielfunktion ist also auch abhängig von einer Nebenbedingung.
  2. Die Nebenbedingung, dass eine Fäche von 500 m² entstehen soll ist durch die einfache Multiplikation der beiden Seiten x und y ausdrückbar: 500 = x * y
  3. Die Formel mit der man den Umfang eines Rechteckes ausdrückt ist U = 2x + 2y. In der gestellten Aufgabe wird jedoch eine Seite von einem Bach begrenzt, es ist also nicht nötig an dieser Seite einen Zaun zu bauen. Deshalb ergibt sich für die Länge des Zaunes: U = x + 2y Löst man die bereits aufgestellte Nebenbedingung 500 = x * y nach y auf erhält man y = \frac {500} {x}. Nach einsetzen in U = x + 2y ergibt sich unsere Zielfunktion: U(x) = x + \frac {1000} {x} .
  4. Die Ableitungen der Funktion sind: U'(x)=1-\frac {1000} {x^2} und U''(x)= \frac {2000} {x^3}. Für U' (x) = 0 erhält man x = 31,622, das sich aufgrund der Bedingung U (31,622) > 0 als Tiefpunkt herausstellt.
  5. Mit unserer Nebenbedingung und durch Einsetzen des x-Wertes erhält man y = 15,811. Der kleinste Umfang U = x + 2y ist U = 63,244


Beispiel 2

Bei einer rechteckigen Glasplatte ist eine Ecke abgebrochen (Fig. 1). Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe mit möglichst großem Inhalt herausgeschnitten werden.
a) Wie ist Punkt P zu wählen?
b) Aus dem Rest soll wiederum eine rechteckige Scheibe herausgeschnitten werden. Wie groß kann diese höchstens werden?

Fig. 1


  1. Problem skizzieren (Fig. 2) und ein KOS einführen.
  2. Fig. 2
  3. Die Punkte A und B in g(x)= mx + n einsetzen um die Geradengleichung zu erhalten.

Für A in g(x) erhält man 30 = n und für B in g(x)erält man \frac {3} {2} = m
Somit erhält man die Gerade g(x) = \frac {3} {2} + 30


Beispiel 3

Aus einem kreisförmigen Rundstab mit dem Durchmesser d=12cm soll ein rechteckiger Stab mit einem möglichst großem rechteckigem Querschnitt gefertigt werden. Bestimmen Sie die Seitenlänge a und b des Rechtecks.

Lösung:

Leitfaden Lösung am Beispiel
Angaben rausschreiben geg.:

Querschnitt von einem kreisförmigen Rundstab (Kreis)

d=12cm

ges.:

Rechteck mit größtem Flächeninhalt

Zielfunktion aufstellen A\left( a,b \right)= a\cdot b
Nebenbedingungen d=12= \sqrt{a^2+b^2}
Nebenbedingungen ausnutzen 12= \sqrt{a^2+b^2} => 144= a^2+b^2
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