Darstellung von Geraden und Ebenen.: Unterschied zwischen den Versionen
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Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form: | Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form: | ||
| − | <math>\vec x = \vec p + t | + | <math>\vec x = \vec p + t \vec u</math> beschreiben. |
Die Gerade wird in der Parameterdarstellung beschrieben, indem ein Ortsvektor <math>\vec p</math> auf einen beliebigen Punkt der Gerade gerichtet wird und zudem von diesem Punkt ein Richtungsvektor <math>\vec u</math> den Verlauf der Geraden bestimmt. | Die Gerade wird in der Parameterdarstellung beschrieben, indem ein Ortsvektor <math>\vec p</math> auf einen beliebigen Punkt der Gerade gerichtet wird und zudem von diesem Punkt ein Richtungsvektor <math>\vec u</math> den Verlauf der Geraden bestimmt. | ||
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| − | * '''sich schneiden''': Beide Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam. | + | * '''sich schneiden''': Beide Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam. (Die Vektorengleichung '''''hat genau eine Lösung'''''.) |
* '''zueinander parallel sein''': Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen. | * '''zueinander parallel sein''': Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen. | ||
| − | *'''zueinander windschief sein''': Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, aber lassen sich nicht durch eine Verschiebung allein ineinander überführen. ( | + | *'''zueinander windschief sein''': Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, aber lassen sich nicht durch eine Verschiebung allein ineinander überführen. |
| + | * '''keine gemeinsamen Punkte haben''': Beide Geraden haben keine Punkte gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat '''''keine Lösung'''''.) | ||
== Ebenen == | == Ebenen == | ||
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| + | Zwei Ebenen können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. | ||
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| + | * '''sich schneiden''': Beide Ebenen schneiden sich in einer Geraden. (Die Gleichung hat '''''unendlich viele Lösungen'''''.) | ||
| + | * '''zueinander parallel sein''' und '''haben keine gemeinsamen Punkte''': Beide Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte. (Die Gleichung hat '''''keine Lösung'''''.) | ||
== Formumfornungen == | == Formumfornungen == | ||
Version vom 8. Dezember 2009, 13:17 Uhr
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Geraden
Eine Gerade ist eine unendlich lang und unendlich dünne Linie. Sie besitzt keine Eigenschaften, es besteht lediglich die Beziehung zu anderen Geraden, Punkten und Ebenen, die von Bedeutung sind.
Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form:
beschreiben.
Die Gerade wird in der Parameterdarstellung beschrieben, indem ein Ortsvektor 
auf einen beliebigen Punkt der Gerade gerichtet wird und zudem von diesem Punkt ein Richtungsvektor 
den Verlauf der Geraden bestimmt.
Gegenseitige Lage von Geraden
Zwei Geraden können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:
- identisch sein: Beide Geraden haben alle Punkte gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat unendlich viele Lösungen.)
- sich schneiden: Beide Geraden haben genau einen Punkt gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat genau eine Lösung.)
- zueinander parallel sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam und lassen sich durch eine Verschiebung ineinander überführen.
- zueinander windschief sein: Beide Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, aber lassen sich nicht durch eine Verschiebung allein ineinander überführen.
- keine gemeinsamen Punkte haben: Beide Geraden haben keine Punkte gemeinsam. (Die Vektorengleichung hat keine Lösung.)
Ebenen
Bei einer Ebene handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt.
Jede Gerade lässt sich durch eine Gleichung der Form:
beschreiben.
Hierbei ist ein Stützvektor un die linear unabhänigen Vektoreb und 
sind zwei Spannvektoren.
Gegenseite Lage von Ebenen
Zwei Ebenen können folgende Lagebeziehungen zueinander haben. Sie können:
- sich schneiden: Beide Ebenen schneiden sich in einer Geraden. (Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.)
- zueinander parallel sein und haben keine gemeinsamen Punkte: Beide Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte. (Die Gleichung hat keine Lösung.)
