Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>A=\int_{a}^{b} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3] | <math>A=\int_{a}^{b} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3] | ||
− | = \frac{1}{3} \cdot | + | = \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})= \frac{2}{3}</math> |
Der Flächeninhalt beträgt <math>A= -\frac{2}{3}</math> | Der Flächeninhalt beträgt <math>A= -\frac{2}{3}</math> | ||
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Lösung: Da <math>f(x)\le0</math> für <math>x\in\ [-1,3]</math> ist, gilt: | Lösung: Da <math>f(x)\le0</math> für <math>x\in\ [-1,3]</math> ist, gilt: | ||
− | <math>A=\int_{a}^{b} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot (-1)^3-\frac{1}{12} \cdot 3^3 | + | <math>A=\int_{a}^{b} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot (-1)^3-\frac{1}{12} \cdot 3^3= -\frac{1}{12}-\frac{9}{12}= |
Version vom 1. Mai 2011, 13:18 Uhr
Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse
Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:
oder
denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.
Beispielaufgaben:
Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.
Lösung: Da für ist, gilt:
Der Flächeninhalt beträgt
Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.
Lösung: Da für ist, gilt: