Ableitungsregeln.: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. Dezember 2009, 10:51 Uhr

Ableitungsregeln

Potenzregel

$f\!(x)=x^n$

=> $f\!\,'(x)=nx^{n-1}$

Beispiel

$f\!(x)=x^2$

=> $f\!\,'(x)=2x^{2-1}=$ $\!\,\boldsymbol{\underline{\underline{2x}}}$

Summenregel

$f\!(x)=g(x)+h(x)$

=> $f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)$

Beispiel

$f\!(x)=x^3+x^2$

=> $f\!\,'(x)= (x^3)' + (x^2)' = \boldsymbol{\underline{\underline{3x^2 + 2x}}}$

Faktorregel

$f\!(x)=k \cdot g(x)$

=> $f\!\,'(x)=k \cdot g'(x)$

Beispiel

$f\!(x)=6x^5$

=> $f\!\,'(x)=6*5x^{(5-1)} = \boldsymbol{\underline{\underline{30x^4}}}$

Differenzregel

$f\!(x)=g(x)-h(x)$

=> $f\!\,'(x)=g'(x)-h'(h)$

Beispiel

$f\!(x)=x^9-x^7$

=> $f\!\,'(x)= (x^9)' - (x^7)' = \boldsymbol{\underline{\underline{9x^8 + 7x^6}}}$

Produktregel

$f\!(x)=u(x) \cdot v(x)$

=> $f\!\,'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)$

Beispiel 1

$f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}$

$f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)$

$f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}$

Beispiel 2

$f\!(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=\sin(x)\\ v(x)=\cos(x) \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=\cos(x)\\ v'(x)=-\sin(x) \end{cases}$

$f\!\,'(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)+\sin(x) \cdot (-\sin(x))$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}$

Beispiel 3

$f\!(x)=x^n \cdot e^{x}$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}$

$f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}$

Quotientenregel

$f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

=> $f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$

Beispiel

$f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=1-2x\\ v(x)=4+3x^2 \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=-2\\ v'(x)=6x \end{cases}$

$f\!\,'(x)=\frac{(-2) \cdot (4+3x^2)-(1-2x) \cdot (6x)}{(4+3x^2)^2}$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}}}}$

Kettenregel

$f\!(x)=g(h(x))$ bzw. $f\!(x)=g(u)$ mit $u=h\!(x)$

=> $f\!\,'(x)=h'(u) \cdot g'(h(x))$

Die Ableitung von einer verketteten Funktion wird grob gesagt gebildet, indem man erst die äußere Ableitung und dann die innere bildet.

Beispiel 1

$f\!(x) = (x^2 + 2x)^2$
$f\! '(x) = 2(x^2 + 2x)*(2x + 2)$

Beispiel 2

$f\!(x)= sin (2x)$

$f\! '(x) = cos (2x) * 2$

Hilfestellung

$f\!(x) = u(v(x))$
$f\! '(x) = u'(v(x)) * v'(x)$

Beispiel von oben (2):

$f\! (x) = sin (2x)$

$u\! = sin$ $u\! ' = cos$
$v\! = 2x$ $v\! ' = 2$

$f\! '(x) = cos (2x) * 2$
Also: $f\! '(x) = u' (v(x)) * v'(x)$

Umkehrregel

$f\!^-\,^1(y)\ \mathrm{sei\ die\ Umkerhfunktion\ zu\ y=f(x)}$

$(\!f\!^-\,^1)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\ \mathrm{oder}\ (\!f\!^-\,^1)'(f\!(x)) \cdot f\!\,'(x)=1$

Beispiel

Ableitungen (Ableitungsfunktionen) spezieller Funktionen

$\!f(x)$	$\!f'(x)$	$\!f''(x)$
$\!a= konstante Zahl$	$\!0$	$\!0$
$\!x^n$	$\!nx^{(n-1)}$	$\!n(n-1)x^{(n-2)}$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$-\frac{1}{4x\sqrt{x}}$
$\!e^x$	$\!e^x$	$\!e^x$
$\!a^x$	$\!a^x*ln\ a$	$\!a^x*(ln\ a)^2$
$\!\sin x$	$\!\cos x$	$\!-\sin x$
$\! \cos x$	$\! -\sin x$	$\! -\cos x$
$\!\tan x$	$\!\frac{1}{\cos^2 x}$ $\!= 1+\tan^2 x$	$\! 2\tan x(1+\tan^2 x)$
$\! log_a x$	$\! \frac{1}{x*ln\ a}$	$\! \frac{-1}{x^2*ln\ a}$
$\! ln\ x$	$\! \frac{1}{x}$	$\! -\frac{1}{x^2}$

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 |-
 | <math>\!a^x</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\!a^x*ln\ a</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\!a^x*(ln\ a)^2</math>
 |-
-| <math>\!/sin x</math>
+| <math>\!\sin x</math>
-| <math>\!/cos x</math>
+| <math>\!\cos x</math>
-| <math>\! /-sin x</math>
+| <math>\!-\sin x</math>
 |-
-| <math>\!</math>
+| <math>\! \cos x</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\! -\sin x</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\! -\cos x</math>
 |-
-| <math>\!</math>
+| <math>\!\tan x </math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\!\frac{1}{\cos^2 x}</math><math>\!= 1+\tan^2 x</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\! 2\tan x(1+\tan^2 x)</math>
 |-
-| <math>\!</math>
+| <math>\! log_a x</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\! \frac{1}{x*ln\ a}</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\! \frac{-1}{x^2*ln\ a}</math>
 |-
-| <math>\!</math>
+| <math>\! ln\ x</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\! \frac{1}{x}</math>
-| <math>\!</math>
+| <math>\! -\frac{1}{x^2}</math>
 |-
-| <math>\!</math>
-| <math>\!</math>
-| <math>\!</math>
 |}

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