Gebrochene rationale Funktionen.: Unterschied zwischen den Versionen
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dem Nennergrad NG. | dem Nennergrad NG. | ||
| − | '''Allgemeine Form der Funktion:''' f(x) = | + | '''Allgemeine Form der Funktion:''' <math>f(x) =\frac{g(x)}{h(x)}</math> mit dem ganzrationalen Funktionen |
g(x) und h(x) ( Grad h(x) <math>\geq </math> 1). | g(x) und h(x) ( Grad h(x) <math>\geq </math> 1). | ||
Bei einer ganzrationalen ist der Funktionsterm ein '''Polynom'''. | Bei einer ganzrationalen ist der Funktionsterm ein '''Polynom'''. | ||
| − | Ist z.B. g(x) = <math> x ^ 3 </math> + x und <math>h_1</math>(x) = <math>2x^2 -2</math>, ergibt sich f(x) = | + | Ist z.B. g(x) = <math> x ^ 3 </math> + x und <math>h_1</math>(x) = <math>2x^2 -2</math>, ergibt sich <math>f(x) =\frac{g(x)}{h_1(x)}</math> = |
<math>\frac{x^3 + x}{2x^2 - 2}</math> = <math>\frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 - 1)}</math>. | <math>\frac{x^3 + x}{2x^2 - 2}</math> = <math>\frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 - 1)}</math>. | ||
Diese Art von Funktionen nennt man '''gebrochenrationale Funktion'''. | Diese Art von Funktionen nennt man '''gebrochenrationale Funktion'''. | ||
| − | Ist dagegen <math>h_2</math> = <math>2x^2 + 2</math>, ergibt sich i(x)= | + | Ist dagegen <math>h_2</math> = <math>2x^2 + 2</math>, ergibt sich <math>i(x)=\frac{g(x)}{h_2(x)}</math> = <math>\frac{x^3 + x}{2x^2 + 2}</math> = <math>\frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1 }</math> =<math> \frac{x}{2}</math> . |
Durch das Kürzen ändert sich in diesem Fall die Definitionsmende nicht. Es ergibt sich als Nennerpolynom eine Konstante. Die Funktion i ist also ein '''ganzrationale Funktion'''. | Durch das Kürzen ändert sich in diesem Fall die Definitionsmende nicht. Es ergibt sich als Nennerpolynom eine Konstante. Die Funktion i ist also ein '''ganzrationale Funktion'''. | ||
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Damit kann man formulieren: | Damit kann man formulieren: | ||
| − | Eine Funktion f mit f(x) = | + | Eine Funktion f mit <math>f(x) =\frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ ... + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_1 x + b_0}</math> , <math>a_i</math> <math> \in </math> <math> \R </math>, <math>b_i</math> <math> \in </math> <math> \R </math>, <math>a_n </math> <math> \ne </math> 0 , <math>b_m</math> <math> \ne </math> 0, heißt '''gebrochenrational''', wenn diese Darstellung nur mit einem Nennerpolynom möglich ist, dessen Grad mindestens 1 ist. |
Falls das Nennerpolynom den Grad 0 hat, ist f eine ganzrationale Funktion. | Falls das Nennerpolynom den Grad 0 hat, ist f eine ganzrationale Funktion. | ||
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== Nullstellen und Polstellen == | == Nullstellen und Polstellen == | ||
Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit <math>f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}</math> zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken. | Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit <math>f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}</math> zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken. | ||
Version vom 14. Dezember 2009, 10:53 Uhr
Defition von gebrochenrationalen Funktionen
Eine gebrochenrationale Funtion ist ein Bruch zweier ganzrationaler Funtionen g(x) und h(x). Dabei heißt g(x) Zählerfunktion mit dem Zählergrad ZG und h(x) heißt Nennerfunktion mit dem Nennergrad NG.
Allgemeine Form der Funktion: 
mit dem ganzrationalen Funktionen
g(x) und h(x) ( Grad h(x) 
1).
Bei einer ganzrationalen ist der Funktionsterm ein Polynom.
Ist z.B. g(x) = 
+ x und 
(x) = 
, ergibt sich 
=
= 
.
Diese Art von Funktionen nennt man gebrochenrationale Funktion.
Ist dagegen 
= 
, ergibt sich 
= 
= 
=
.
Durch das Kürzen ändert sich in diesem Fall die Definitionsmende nicht. Es ergibt sich als Nennerpolynom eine Konstante. Die Funktion i ist also ein ganzrationale Funktion.
Damit kann man formulieren:
Eine Funktion f mit 
, 
, 
, 
0 , 
0, heißt gebrochenrational, wenn diese Darstellung nur mit einem Nennerpolynom möglich ist, dessen Grad mindestens 1 ist.
Falls das Nennerpolynom den Grad 0 hat, ist f eine ganzrationale Funktion.
Nullstellen und Polstellen
Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit 
zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken.
Nullstellen
Nullstellen und Polstellen
Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken.
