Elementare Integration.: Unterschied zwischen den Versionen
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<br />Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche der Graph der Funktion f mit '''f(x)= 3x<sup>2</sup> - x<sup>2</sup>''' mit der x-Achse einschließt. | <br />Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche der Graph der Funktion f mit '''f(x)= 3x<sup>2</sup> - x<sup>2</sup>''' mit der x-Achse einschließt. | ||
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| + | Der Inhalt der Fläche ist A = <math>\int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\, dx</math> | ||
Version vom 16. Dezember 2009, 19:39 Uhr
Elementare Integration
Durch integrieren werden die Flächen unterhalb oder zwischen den Graphen berechnet. Dazu muss man zuerst die gegebene Funktion aufleiten bzw. die Stammfunktion bilden.
Stammfunktionen bilden
Wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat, ist ihre Stammfunktion die Funktion, deren Ableitung f ergibt.
F'(x) = f(x)
Die Stammfunktion f(x) wird gebildet, indem man den Exponenten mit eins addiert und die Funktion mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multipliziert.
| Funktion f (x) | Stammfunktion F(x) |
|---|---|
| f(x) = xz | F(x) = x z + 1
|
Beispiele:
f(x) =  |
F(x) =  x 2 + 1 |
F(x) =  x 3
|
f(x) =  |
F(x) =  x 3 + 1 |
F(x) =  x 4
|
| f(x) = 4x + 1 | F(x) =  x 1 + 1 + 1 |
F(x) = 2 x 2 + x |
Bei Funktionen wie z.B. : (2x-3)3 erfolgt die Stammfunktionsbildung mit linearer Substitution.
| Funktion f(x) | Stammfunktion F(x) |
|---|---|
| f(x) = u(rx+s) | F(x) =  U (rx + s)
|
Beispiele:
| f(x) = (4x+1)3 | F(x) = * (4x + 1) 4 |
F(x) =  (4x + 1) 4
|
| f(x) = 2(x + 3)3 | 2 *  * (x + 3) 4 |
F(x) =  (x + 3) 4
|
Integralrechnung
Mit einer beliebigen Stammfunktion F(x) von f(x) kann man den gesuchten Flächeninhalt berechnen.
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung= F(b) - F(a) Statt F(b) - F(a) kann man auch
; es ist dann
Beispiel:
(aus LS Analysis Leistungskurs S. 80 Bespiel 1 )
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche der Graph der Funktion f mit f(x)= 3x2 - x2 mit der x-Achse einschließt.
Lösung:
Bestimmung der Nullstellen (= Grenzwerte)
Aus 3x2 - x3 = 0 folgt x1 = 0 und x2 = 3
Der Inhalt der Fläche ist A = 
