Darstellung von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

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Als Gleichungssystem lösen.
 
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Parameterform in Normalenform</u>
 
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<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>\longrightarrow</math> <math>[\vec n(\vec x - SV)]</math>
 
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1) Normalenvektor finden durch <math>\vec n =\vec u \times \vec v</math><br />
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2) Der Stützvektor bleibt gleich<br />
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Also erhält man <math>[\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]</math>
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Koordinatenform in Parameterform</u>
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Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.<br />
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Bei 2 Spurpunkten S<sub>x</sub>,s<sub>y</sub>: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor <math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}</math><br />
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<u>Koordinatenform in Normalenform</u>

Version vom 3. Dezember 2009, 10:36 Uhr

Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.

In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor \vec s und einen Richtungsvektor \vec r beschrieben.


Die Geradengleichung in Parameterform ist also:

g: \vec x=\vec s+t*\vec r


Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. \vec a der Stützvektor und \overline {BA} der Richtungsvektor.



Ebenen

Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Vektoren aufgespannt.

Die Parametergleichung für eine Ebene ist also:

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v (r, s \in \mathbb{R})


Formumformungen

Parameterform in Koordinatenform:

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow \! E: ax+by+cz=d

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v

Als Gleichungssystem lösen.


Parameterform in Normalenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow [\vec n(\vec x - SV)]


1) Normalenvektor finden durch \vec n =\vec u \times \vec v
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Also erhält man [\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]


Koordinatenform in Parameterform

Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten Sx,sy: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}


Koordinatenform in Normalenform

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