Darstellung von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v </math> <math>\longrightarrow</math> <math>\! E: ax+by+cz=d</math> | <math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v </math> <math>\longrightarrow</math> <math>\! E: ax+by+cz=d</math> | ||
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− | ==== | + | ====Parameterform in Normalenform ==== |
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v </math> <math>\longrightarrow</math> <math>[\vec n(\vec x - SV)]</math> | <math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v </math> <math>\longrightarrow</math> <math>[\vec n(\vec x - SV)]</math> | ||
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− | ==== | + | ==== Koordinatenform in Parameterform ==== |
Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.<br /> | Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.<br /> | ||
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− | ==== | + | ====Koordinatenform in Normalenform==== |
<math>\vec n</math>bestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform <Math>\! E: ax+by+cz=d</math> also <math>\vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}</math> | <math>\vec n</math>bestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform <Math>\! E: ax+by+cz=d</math> also <math>\vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}</math> | ||
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− | ==== | + | ==== Normalenform in Koordinatenform ==== |
Ausmultiplizieren des Skalarprodukts. | Ausmultiplizieren des Skalarprodukts. | ||
Zielgleichung: <math>\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0</math> | Zielgleichung: <math>\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0</math> |
Version vom 3. Dezember 2009, 10:53 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Geraden
Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.
In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben.
Die Geradengleichung in Parameterform ist also:
Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. der Stützvektor und der Richtungsvektor.
Ebenen
Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Vektoren aufgespannt.
Die Parametergleichung für eine Ebene ist also:
Formumformungen
Parameterform in Koordinatenform:
Als Gleichungssystem lösen.
Parameterform in Normalenform
1) Normalenvektor finden durch
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Zielgleichung:
Koordinatenform in Parameterform
Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten Sx,sy: Ebene liegt parallel zur damit ist der Richtungvektor
Koordinatenform in Normalenform
bestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform also
Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.
Zielgleichung:
Normalenform in Koordinatenform
Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.
Zielgleichung: