Darstellung von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.
 
Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.
  
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Die Parametergleichung für eine Ebene ist also:
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Die Parametergleichung für eine Ebene ist:
  
 
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>(r, s \in \mathbb{R})</math>
 
<math>E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v  </math> <math>(r, s \in \mathbb{R})</math>
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Koordinatenform: <math>\! E: ax+by+cz=d</math>
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Normalenform: <math>[\vec n(\vec x - SV)]</math>
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Bei drei gegebenen Vektoren  <math>\vec a</math> <math>\vec b</math> <math>\vec c</math>  bildet man das Kreuzprodukt aus <math> \vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}</math><br />.
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Der Stützvektor ist <math>\vec a</math>.
  
  

Version vom 3. Dezember 2009, 11:28 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.

In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor \vec s und einen Richtungsvektor \vec r beschrieben.


Die Geradengleichung in Parameterform ist also:

g: \vec x=\vec s+t*\vec r


Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. \vec a der Stützvektor und \overline {BA} der Richtungsvektor.



Ebenen

Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.

Die Parametergleichung für eine Ebene ist:

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v (r, s \in \mathbb{R})


Koordinatenform: \! E: ax+by+cz=d

Normalenform: [\vec n(\vec x - SV)]

Bei drei gegebenen Vektoren \vec a \vec b \vec c bildet man das Kreuzprodukt aus \vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}
. Der Stützvektor ist \vec a.


Formumformungen

Parameterform in Koordinatenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow \! E: ax+by+cz=d

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v

Als lineares Gleichungssystem lösen.


Parameterform in Normalenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow [\vec n(\vec x - SV)]

1) Normalenvektor finden durch \vec n =\vec u \times \vec v
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Zielgleichung: [\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]


Koordinatenform in Parameterform

Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten Sx,sy: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}


Koordinatenform in Normalenform

\vec nbestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform \! E: ax+by+cz=d also \vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix} Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.

Zielgleichung: [\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}(\vec x - Spurpunkt)]

Normalenform in Koordinatenform


Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.

Zielgleichung: \!n_1ax+n_2by+n_3cz=0

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