Flächenberechnungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx</math>
 
<math>F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx</math>
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Man sollte darauf achten nach dem Integrieren die Flächen zu addieren.
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*Gesucht ist der Flächeninhalt wenn das Intervall gegen <math>\lim_{n \to \infty}</math> geht.

Version vom 7. Dezember 2009, 08:59 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Quadrat

  • Alle Seiten sind gleichlang.
  • Alle Winkel sind 90°.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: U=4*a Flächeninhalt A: A=a^2


Rechteck

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
  • Alle Winkel sind 90°.
  • Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=a*b


Dreieck

  • Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.

Umfang U: U=a+b+c Flächeninhalt A: A=\frac{a*h_a}{2} A=\frac{b*h_b}{2} A=\frac{c*h_c}{2}


Parallelogramm

  • Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen halbieren sich.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=a*h_a A=b*h_b


Trapez

  • Grund- und Decklinien sind parallel.

Umfang U: U=a+b+c+d Flächeninhalt A: A=\frac{a+c}{2}*h


Raute

  • Alle Seiten sind gleichlang.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: U=4*a Flächeninhalt A: A=a*h_a


Drachen

  • Die benachbarten Seiten sind gleichlang.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: U=2*(a+b) Flächeninhalt A: A=\frac{e*f}{2}


Kreis

  • Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.
  • Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.
  • Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.

Umfang U: U=2*r*\pi Flächeninhalt A: A=\pi*r^2


Berechnung von Flächen durch Integrale

Gesucht ist der Flächeninhalt den eine gegebene Funktion mit einer anderen Funktion oder der x-Achse einschließt.

Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.

  1. Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
  2. Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
  3. Funktion und lim: Das Intervall geht gegen \lim_{n \to \infty}


Formeln

  • Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.

F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx

  • Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und g(x)=ex^2+f

Zunächst werden die Schnittstellen h;i berechnet und als Intervall verwendet.Der größere Graph in diesem Intervall wird mit dem kleineren suptraiert.

F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx

  • Zu beachten ist hierbei das bei Integralen mit mehreren Intervallen, das auch die größe der Funktionen vareieren können so auch bei f(x)=ax^3+bx^2+cx+d ; g(x)=ex+f und dem Intervall [h;i;j].

F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx

Man sollte darauf achten nach dem Integrieren die Flächen zu addieren.

  • Gesucht ist der Flächeninhalt wenn das Intervall gegen \lim_{n \to \infty} geht.
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