Schnitte von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:48 Uhr

Lagebeziehungen von Geraden und Geraden

Es gibt mehrere Möglichkeiten, wie zwei Geraden im Raum zueinander liegen können. Sie können identisch, zueinander parallel, sich schneiden oder zueinander windschief sein. Die zwei Geraden sind definiert durch und

Identisch

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren, also und sind linear abhängig.
Der Stützvektor von liegt auf der Geraden , der SV von liegt auf der Geraden .
Identisch sind 2 Geraden also dann, wenn sie auf einer Linie liegen.

Zueinander parallel

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren, also und sind linear abhängig.
Der Stützvektor von liegt nicht auf der Geraden , der SV von liegt nicht auf der Geraden .

Schnittpunkt

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Wenn man und gleichsetzt, erhält man genau eine Lösung.

Windschief

Vorraussetzungen:
Die Richtungsvektoren sind linear unabhängig.
Wenn man und gleichsetzt, erhält man keine Lösung.

Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden

Eine Ebene und eine Gerade können zueinander parallel oder identisch sein oder sich schneiden. Gegeben seien die Gerade und die Ebene

Gerade liegt in der Ebene

Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RV_g und die Richtungsvektoren der Ebene RV₁ und RV₂ sind linear abhängig.
Wenn man in die Koordinatenform von einsetzt, erhält man unendlich viele Lösungen, da es unendlich viele Schnittpunkte gibt. Zum Umformen der Parameterform in die Koordinatenform siehe hier.

Parallel

Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RV_g und die Richtungsvektoren der Ebene RV₁ und RV₂ sind linear abhängig.
Wenn man in die Koordinatenform von einsetzt, erhält man keine Lösung.

Schnittpunkt

Vorraussetzungen:
Der Richtungsvektor der Gerade RV_g und die Richtungsvektoren der Ebene RV₁ und RV₂ sind linear unabhängig.
Wenn man in die Koordinatenform von einsetzt, erhält man genau eine Lösung.

Lagebeziehungen von Ebenen und Ebenen

Zwei Ebenen können sich schneiden, zueinander parallel sein oder identisch sein. Gegeben seien die Ebene und die Ebene

Identisch

Die Ebenen und werden in die Normalenform umgewandelt. Für die Umwandlung siehe hier.
Die Normalenvektoren _E und _F sind linear abhängig. Der Vektor _E liegt auf und der Vektor _F liegt auf .

Parallel

Schnittgerade

Siehe auch

• Schnitte von Geraden und Ebenen.