Darstellung von Geraden und Ebenen: Unterschied zwischen den Versionen

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Zielgleichung: <math>\!n_1ax+n_2by+n_3cz=0</math>
 
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[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Aktuelle Version vom 27. Dezember 2010, 10:49 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Geraden

Eine Gerade ist durch zwei Punkte definiert.

In der vektoriellen Darstellung ist eine Gerade durch einen Stützvektor \vec s und einen Richtungsvektor \vec r beschrieben.


Die Geradengleichung in Parameterform ist also:

g: \vec x=\vec s+t*\vec r


Bei zwei gegebenen Punkten A und B ist z.B. \vec a der Stützvektor und \overline {BA} der Richtungsvektor.



Ebenen

Parameterform:

Eine Ebene wird durch zwei linear unabhängige Richtungsvektoren aufgespannt.

Die Parametergleichung für eine Ebene ist:

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v (r, s \in \mathbb{R})


Normalenform:

[\vec n(\vec x - SV)]= 0

Bei drei gegebenen Vektoren \vec a \vec b \vec c bildet man das Kreuzprodukt aus \vec n =\overrightarrow {ac} \times \overrightarrow {ab}
. Der Stützvektor ist \vec a.

Koordinatenform:

\! E: ax+by+cz=d



Formumformungen

Parameterform in Koordinatenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow \! E: ax+by+cz=d

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \vec p+r*\vec u+s* \vec v

Als lineares Gleichungssystem lösen.


Parameterform in Normalenform

E: \vec x=\vec p+r*\vec u+s* \vec v \longrightarrow [\vec n(\vec x - SV)]

1) Normalenvektor finden durch \vec n =\vec u \times \vec v
2) Der Stützvektor bleibt gleich
Zielgleichung: [\vec u \times \vec v(\vec x - \vec p)]


Koordinatenform in Parameterform

Bei 3 Spurpunkten: Parametergleichung aus 3 Punkten. Man wähl einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Bei 2 Spurpunkten Sx,sy: Ebene liegt parallel zur z damit ist der Richtungvektor \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}


Koordinatenform in Normalenform

\vec nbestimmen durch Koeffizienten der Koordinatenform \! E: ax+by+cz=d also \vec n=\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix} Als Stützvektor wählt man einen Spurpunkt.

Zielgleichung: [\begin{pmatrix} a \\ b\\ c \end{pmatrix}(\vec x - Spurpunkt)]

Normalenform in Koordinatenform


Ausmultiplizieren des Skalarprodukts.

Zielgleichung: \!n_1ax+n_2by+n_3cz=0

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