Ableitungsregeln.: Unterschied zwischen den Versionen

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u(x)=4x^3-2x+1\\
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u'(x)=12x^2-2\\
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v'(x)=2x-2
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<math>f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)</math>
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<math>f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2</math>
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}</math>
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==== Beispiel 2 ====
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<math>f\!(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)</math>
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u(x)=\sin(x)\\
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v(x)=\cos(x)
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u'(x)=\cos(x)\\
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<math>f\!\,'(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)+\sin(x) \cdot (-\sin(x))</math>
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}</math>
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==== Beispiel 3 ====
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<math>f\!(x)=x^n \cdot e^{x}</math>
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<math>\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases}
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u(x)=x^n\\
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v(x)=e^{x}
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\end{cases}</math>
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<math>\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases}
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u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\
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v'(x)=e^{x}
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\end{cases}</math>
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<math>f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})</math>
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<math>f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}</math>
  
 
=== Quotientenregel ===
 
=== Quotientenregel ===

Version vom 7. Dezember 2009, 11:02 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Ableitungsregeln

Potenzregel

f\!(x)=x^n

=> f\!\,'(x)=nx^{n-1}


Beispiel

f\!(x)=x^2

=> f\!\,'(x)=2x^{2-1}= 2x


Summenregel

f\!(x)=g(x)+h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)


Beispiel

f\!(x)=6x^3+5x^2

=> f\!\,'(x)= (6x^3)' + (5x^2)' = 18x^2 + 10x

Faktorregel

f\!(x)=k \cdot g(x)

=> f\!\,'(x)=k \cdot g'(x)


Beispiel

Differenzregel

f\!(x)=g(x)-h(x)

=> f\!\,'(x)=g'(x)-h'(h)


Beispiel

Produktregel

f\!(x)=u(x) \cdot v(x)

=> f\!\,'(x)=u'(x) \cdot v(x)+u(x) \cdot v'(x)


Beispiel 1

f\!(x)=(4x^3-2x+1) \cdot (x^2-2x+5)


\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}


f\!\,'(x)=(12x^2-2) \cdot (x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1) \cdot (2x-2)

f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}


Beispiel 2

f\!(x)=\sin(x) \cdot \cos(x)

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=\sin(x)\\ v(x)=\cos(x) \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=\cos(x)\\ v'(x)=-\sin(x) \end{cases}


f\!\,'(x)=\cos(x) \cdot \cos(x)+\sin(x) \cdot (-\sin(x))

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}


Beispiel 3

f\!(x)=x^n \cdot e^{x}

\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}


\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n \cdot x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}


f\!\,'(x)=(n \cdot x^{n-1}) \cdot (e^{x})+(x^n) \cdot (e^{x})

f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1} \cdot e^{x} \cdot (n+x)}}}

Quotientenregel

f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}

=> f\!\,'(x)=\frac{u'(x) \cdot v(x)-u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}


Beispiel

Kettenregel

f\!(x)=g(h(x))

=> f\!\,'(x)=h'(x) \cdot g'(h(x))


Beispiel

Umkehrregel

f\!^-\,^1(y)\ \mathrm{sei\ die\ Umkerhfunktion\ zu\ y=f(x)}

(\!f\!^-\,^1)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\ \mathrm{oder}\ (\!f\!^-\,^1)'(f\!(x)) \cdot f\!\,'(x)=1


Beispiel

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