Flächenberechnung: Unterschied zwischen den Versionen
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<math>A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}</math> | <math>A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}</math> | ||
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| + | Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{7}{3}</math> | ||
Version vom 1. Mai 2011, 12:42 Uhr
Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse
Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:
denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.
Beispielaufgaben:
Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.
Lösung: Da 
für ![x\in\ [-1,1]](/images/math/b/8/c/b8c773b6de0758bb1167e2bb6d2b0569.png)
ist, gilt:
![A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3]
= \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})= \frac{2}{3}](/images/math/c/e/3/ce3fb92ea679f57b69072e193ffff83a.png)
Der Flächeninhalt beträgt 
Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse
--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.
Lösung: Da 
für ![x\in\ [-1,3]](/images/math/4/d/0/4d0017cb5d984bbac3d4692906648585.png)
ist, gilt:
![A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}](/images/math/4/b/d/4bd409b55c1295780fe04a9e78f37454.png)
Der Flächeninhalt beträgt A= \frac{7}{3}</math>
