Elementare Integration.

Elementare Integration

Durch integrieren werden die Flächen unterhalb oder zwischen den Graphen berechnet. Dazu muss man zuerst die gegebene Funktion aufleiten bzw. die Stammfunktion bilden.

Stammfunktionen bilden

Wenn man eine Funktion f(x) gegeben hat, ist ihre Stammfunktion die Funktion, deren Ableitung f ergibt.

                              F'(x) = f(x)

Die Stammfunktion f(x) wird gebildet, indem man den Exponenten mit eins addiert und die Funktion mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multipliziert.

Funktion f (x)	Stammfunktion F(x)
f(x) = xz	F(x) =$\frac{1}{z + 1}$ x z + 1

Beispiele:

f(x) = $x^2$	F(x) = $\frac{1}{2 + 1}$ x 2 + 1	F(x) = $\frac{1}{3}$ x 3
f(x) = $x^3$	F(x) = $\frac{1}{3 + 1}$ x 3 + 1	F(x) = $\frac{1}{4}$ x 4
f(x) = 4x + 1	F(x) = $\frac{4}{1+1}$ x 1 + 1 + 1	F(x) = 2 x 2 + x

Bei Funktionen wie z.B. : (2x-3)³ erfolgt die Stammfunktionsbildung mit linearer Substitution.

Funktion f(x)	Stammfunktion F(x)
f(x) = u(rx+s)	F(x) = $\frac{1}{r}$ U (rx + s)

Beispiele:

f(x) = (4x+1)3	F(x) = $\frac{1}{4}$ * $\frac{1}{4}$ (4x + 1) 4	F(x) = $\frac{1}{16}$ (4x + 1) 4
f(x) = 2(x + 3)3	2 * $\frac{1}{1}$ * $\frac{1}{4}$ (x + 3) 4	F(x) = $\frac{1}{2}$ (x + 3) 4

Integralrechnung

Mit einer beliebigen Stammfunktion F(x) von f(x) kann man den gesuchten Flächeninhalt berechnen.

 
Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
   
$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ = F(b) - F(a)
Statt F(b) - F(a) kann man auch $[F(x)]_a^b$  ; es ist dann $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ = $[F(x)]_a^b$

Beispiel 1 : (aus LS Analysis Leistungskurs S. 80 Bespiel 1 )
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche der Graph der Funktion f mit f(x)= 3x² - x² mit der x-Achse einschließt.

Lösung:

Bestimmung der Nullstellen (= Grenzwerte)

Aus 3x² - x³ = 0 folgt x₁ = 0 und x₂ = 3
Der Inhalt der Fläche ist A = $\int_{0}^{3} (3x^2 - x^3)\, dx$
= [$x^3 - \frac{1}{4}x^4]_0^3$ = (27- $\frac{81}{4}$) - 0 =$\frac{27}{4}$


Beispiel 2:

Integrationsregeln

Faktorregel	$\int_{a}^{b} c * f(x)\, dx$	$c * \int_{a}^{b} f(x)\, dx$
Summenregel	$\int_{a}^{b} (f(x)\pm g(x))\, dx$	$\int_{a}^{b}\ (f(x))dx \pm \int_{a}^{b}(g(x))\, dx$
Vertauschungsregel	$\int_{a}^{b} f(x)\, dx$	$- \int_{b}^{a} f(x)\, dx$
Intervallregel	$\int_{a}^{b} f(x)\, dx + \int_{b}^{c} f(x)\, dx$	$\int_{a}^{c} f(x)\, dx$