Kurvendiskussion.

Beispiel Aufgabe

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

Definitionsbereich

$\mathbb{D}$=$\mathbb{R}$

Symmetrie

Punktsymmetrie

$f\!(-x)=-f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.

Achsensymmetrie

$f\!(-x)=f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind gerade.

Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.

Beispiel

Da alle Exponenten der Funktion gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch.

Nullstellen

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

$f\!(x)=0$

Beispiel

$\!f(x)=0$

$\!2-\frac{5}{2}x^2+x^4=0$

$\!x^4-\frac{5}{2}x^2+2=0$

$\!x^2=z$ (Substitution)

$\!z^2-\frac{5}{2}z+2=0$

$\!x_1,_2=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}-2}$

$\!=\frac{5}{4}\pm\sqrt{\frac{25-32}{4}}$

$\!\Rightarrow$ Keine Lösung, da negative Zahl unter der Wurzel steht.

Ableitung

1. Ableitung $f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x_0)$ gibt die Steigung m im Punkt $x_0\!$ an.

2. Ableitung $f\!\,''(x)$

$f\!\,''(x_0)$ gibt die Krümmung von $x_0\!$ an.

Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten, um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung $f\!\,'''(x)$

siehe dazu Ableitungsregeln.

Beispiel

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

1. Ableitung
$\!f'(x)=-5x+4x^3$

2. Ableitung
$\!f''(x)=-5+12x^2$

3. Ableitung
$\!f'''(x)=24x$

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung $f\!\,'(x)=0$

Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein. $\Rightarrow$

$f\!\,''(x)>0$ hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).

oder

$f\!\,''(x)<0$ hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).


Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Beispiel

Notwendige Bedingung: $\!f'(x)=0$

$\!-5x+4x^3=0$

$\!x(4x^2-5)=0$

$\!x_1=0$

$\!4x^2-5=0$

$\!4x^2=5$

$\!x^2=\frac{5}{4}$

$\!x_2,_3=\pm\sqrt{\frac{5}{4}}$

$\!x_2=1,12$

$\!x_3=-1,12$

Lösumg: $\!x_1=0$ ; $\!x_2=1,12$ ; $\!x_3=-1,12$

Hinreichende Bedingung

$\!f''(0)=-5\Rightarrow (0/2)$Hochpunkt

$\!f''(1,12)=10,1\Rightarrow(1,12/0,438)$Tiefpunkt

$\!f''(-1,12)=10,1\Rightarrow(-1,12/0,438)$ Tiefpunkt

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die zweite Ableitung in diesem Punkt = 0.

Notwedige Bedingung

$f\!\,''(x)=0$

Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein.

Hinreichende Bedingung

$f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0$

Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Somit ist hier die Steigung m=0.

Beispiel

Notwendige Bedingung: $\!f''(x)=0$

$\!-5+12x^2=0$

$\!12x^2=5$

$\!x^2=\frac{5}{12}$

$\!x_1,_2=\pm\sqrt{\frac{5}{12}}$

$\!x_1=\sqrt{\frac{5}{12}}$

$\!x_2=-\sqrt{\frac{5}{12}}$

Lösung: $\!x_1=\sqrt{\frac{5}{12}}$ ; $\!x_2=-\sqrt{\frac{5}{12}}$

Hinreichende Bedingung

$\!f'''(\sqrt{\frac{5}{12}})=15,504\Rightarrow (0,646/1,13)$

$\!f'''(-\sqrt{\frac{5}{12}})=-15,504\Rightarrow (-0,646/1,13)$

Grenzverhalten

Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.

$\lim_{x \to \infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$

Beispiel

$\lim_{x \to \infty}f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4=\infty$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4=\infty$

Zeichnung

Beispiel

$\!f(x)=2-\frac{5}{2}x^2+x^4$

-Funktion ist achsensymmetrisch
-Keine Nullstelle
-Hochpunkt in $\!(0/2)$; Tiefpunkt in $\!(1,12/0,438)$ und $\!(-1,12/0,438)$
-Wendepunkt in $\!(0,646/1,3)$ und $\!(-0,646/1,3)$
-Grenzverhalten: Funktion "kommt" aus +$\!\infty$ und "geht" nach +$\!\infty$