G12: Normalform und Scheitelpunktsform

Normalform

Die allgemeine Formel der Normalform lautet: f(x)= x²+px+q

Scheitelpunktsform

Die allgemeine Scheitelpunktsform lautet: f(x)=(x-d)²+e

Wie wird die Formel der Normalform benutzt,um Quadratische Gleichungen zu lösen:

Beispiel: x² + 4x +40 = 5x² + 2x +10 / alles auf die rechte Seite

         0= 4x² -2x -30  /:4
 
         0= x² - 0.5x - 7.5 <- Normalform

Normalform in die Scheitelpunktsform : 0= x² - 0.5x - 7.5

                                      0= ( x² - 0.5x ) - 7.5
                                      0= ( X² - 0.5x + 0.25² - (0.25)²) - 7.5
                                      0= ( x²- 0.5x + 0.25²) - (0.25)² -7.5
                                      0= ( x²-0.5x)² - 1/16 - 7.5
                                      0= ( x²-0.5x) ²- 1/16 - 120/ 16
                                      0= ( x²-0.5x) ² -121/16

                              Der Scheitelpunkt ist nun: S (+0.5 ; - 121/16 )

Da die Klammer ² genommen wurde, Heißt der eine Punkt des Scheitelpunktes

+0.5

und nicht - 0.5.

Hier ist ein gutes Beispiel der Umformung:

Hier ein weiteres Beispiel, indem man von der Normalform in die Scheitelpunktsform umrechnen muss, um den Scheitelpunkt des Graphen ausfindig zu machen:

Normalform: f(x)= x² - 3x + 4

Umformung in die Scheitelpunktsform: -> f(X) = X² -3x + 4

                                                   = x² - 3x + 1.5² - 1.5² + 4
                                                   = ( x - 1.5²) - 1.5² + 4
                                                   = ( x - 1.5)² - 1.5² + 4
                                                   = ( x - 1.5)² + 1.75

                                          Nun ist der Scheitelpunkt: S( 1.5/1.75)