Ganzrationale Funktionen

$f(x)= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$

$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$ = Polynom

$a_n, a_8n-1,..., a_1, a_0$ = Koeffizienten

n = Grad des Polynom

Nullstellen bestimmen: f(x)=0

1. Polynomdivision:

Bei Funktionen mindestens dritten Grades und sowohl geraden als auch ungeraden Exponenten, muss zur Bestimmung der Nullstellen eine Polynomdivision durchgefuehrt werden.

Vorgehensweise:

a) Bestimmung einer Nullstelle (N) der Funktion f(x) durch Erraten.

Tipp: als erstes immer für N = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 einsetzen, da dass die gaengigen Nullstellen sind

b) Erstellung des Termes p(x) = (x - N) durch die soeben gefundene Nullstelle.

c) Nun vereinfacht man die Funktion durch den Bruch :$\frac{f(x)}{p(x)}$ und setzt diesen = 0. Um dies jetzt zu lösen, geht man vor wie bei einer längeren Division.

2. Substitution:

Bei Gleichungen mit Exponente, die aus einer Zahlenreihe kommen. Damit ist beispielsweise 0, 2, 4, 6, 8 oder 3, 6, 9 gemeint.

Beispiel:

Funktion: f(x) = $x^4$ + $6x^2$ + 8 = 0.

substituiere: $x^2$ = z

neue Funktion $f(z)_n$ = $z^2$ + 6z + 8 = 0.

Nun lässt sich durch die p/q - Formel oder die quadratische Ergänzung die Nullstellen errechnen.

Schließlich wird die Substitution wieder rückgängig gemacht, indem man aus z +/- die Wurzel zieht.

3. p/q-Formel:

f(x) = $x^2$ + px + q = 0

$x_{1,2}$ = $\frac{-p}{2}$ $\pm \sqrt{ (\frac{-p}{2})^2-q }$

Verhalten von ganzrationalen Funktionen :

$a_nx^n$ : für $a_n > 0$ gilt

4. quadratische Ergänzung:

Statt die p/q-Formel anzuwenden, können auch mithilfe der quadratischen Ergänzung Nullstellen von einer quadratischen Funktion bestimmt werden.

$x^2$ + ax = $\underbrace {x^2 + ax + \frac{a^2}{4}}_{(x+\frac{a}{2})^2}$ - $\frac{a^2}{4}$