Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Potenzregel

$f\!(x)=x^n$

=> $f\!\,'(x)=nx^{n-1}$

Summenregel

$f\!(x)=g(x)+h(x)$

=> $f\!\,'(x)=g'(x)+h'(x)$

Faktorregel

$f\!(x)=k*g(x)$

=> $f\!\,'(x)=k*g'(x)$

Differenzregel

$f\!(x)=g(x)-h(x)$

=> $f\!\,'(x)=g'(x)-h'(h)$

Produktregel

$f\!(x)=u(x)*v(x)$

=> $f\!\,'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)$

Quotientenregel

$f\!(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$

=> $f\!\,'(x)=\frac{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^2}$

Kettenregel

$f\!(x)=g(h(x))$

=> $f\!\,'(x)=h'(x)*g'(h(x))$

Umkehrregel

$f\!^-\,^1(y)\ \mathrm{sei\ die\ Umkerhfunktion\ zu\ y=f(x)}$

$(\!f\!^-\,^1)'(f(x))=\frac{1}{f'(x)}\ \mathrm{oder}\ (\!f\!^-\,^1)'(f\!(x))*f\!\,'(x)=1$

Beispiele

Summenregel

$f\!(x)=3x^2+5x$

=> $f\!\,'(x)=(3x^2+5x)'=(3x^2)'+(5x)'=6x+5$

Produktregel

Beispiel 1

$f\!(x)=(4x^3-2x+1)*(x^2-2x+5)$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=4x^3-2x+1\\ v(x)=x^2-2x+5 \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=12x^2-2\\ v'(x)=2x-2 \end{cases}$

$f\!\,'(x)=(12x^2-2)*(x^2-2x+5)+(4x^3-2x+1)*(2x-2)$

$f\!\,'(x)=12x^4-24x^3+60x^2-2x^2+4x-10+8x^4-8x^3-4x^2+4x+2x-2$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{20x^4-32x^3+54x^2+10x-12}}}$

Beispiel 2

$f\!(x)=\sin(x)*\cos(x)$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=\sin(x)\\ v(x)=\cos(x) \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=\cos(x)\\ v'(x)=-\sin(x) \end{cases}$

$f\!\,'(x)=\cos(x)*\cos(x)+\sin(x)*(-\sin(x))$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{\cos^2(x)-\sin^2(x)}}}$

Beispiel 3

$f\!(x)=x^n*e^{x}$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=x^n\\ v(x)=e^{x} \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile}\ \begin{cases} u'(x)=n*x^{n-1}\\ v'(x)=e^{x} \end{cases}$

$f\!\,'(x)=(n*x^{n-1})*(e^{x})+(x^n)*(e^{x})$

$f\!\,'(x)=\boldsymbol{\underline{\underline{x^{n-1}*e^{x}*(n+x)}}}$

Quotientenregel

Beispiel

$f\!(x)=\frac{1-2x}{4+3x^2}$

$\mathrm{Bestandteile}\ \begin{cases} u(x)=1-2x\\ v(x)=4+3x^2 \end{cases}$

$\mathrm{Ableitungen\ der\ Bestandteile} \begin{cases} u'(x)=-2\\ v'(x)=6x \end{cases}$

$f\!\,'(x)=\frac{(-2)*(4+3x^2)-(1-2x)*(6x)}{(4+3x^2)^2}$

$f\!\,'(x)=\frac{6x^2-6x-8}{(4+3x^2)^2}$