Flächenberechnungen

Quadrat

• Alle Seiten sind gleichlang.
• Alle Winkel sind 90°.
• Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander, sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: $U=4*a$ Flächeninhalt A: $A=a^2$

Rechteck

• Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
• Alle Winkel sind 90°.
• Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich.

Umfang U: $U=2*(a+b)$ Flächeninhalt A: $A=a*b$

Dreieck

• Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°.

Umfang U: $U=a+b+c$ Flächeninhalt A: $A=\frac{a*h_a}{2}$ $A=\frac{b*h_b}{2}$ $A=\frac{c*h_c}{2}$

Parallelogramm

• Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
• Die Diagonalen halbieren sich.

Umfang U: $U=2*(a+b)$ Flächeninhalt A: $A=a*h_a$ $A=b*h_b$

Trapez

• Grund- und Decklinien sind parallel.

Umfang U: $U=a+b+c+d$ Flächeninhalt A: $A=\frac{a+c}{2}*h$

Raute

• Alle Seiten sind gleichlang.
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
• Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: $U=4*a$ Flächeninhalt A: $A=a*h_a$

Drachen

• Die benachbarten Seiten sind gleichlang.
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
• Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.

Umfang U: $U=2*(a+b)$ Flächeninhalt A: $A=\frac{e*f}{2}$

Kreis

• Alle Punkte auf der Kreislinie haben vom Mittelpunkt M den gleichen Abstand.
• Der Abstand vom Mittelpunkt M zur Kreislinie ist der Radius.
• Der Abstand von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt M zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie ist der Durchmesser d.

Umfang U: $U=2*r*\pi$ Flächeninhalt A: $A=\pi*r^2$

Berechnung von Flächen durch Integrale

Gesucht ist der Flächeninhalt den eine gegebene Funktion mit einer anderen Funktion oder der x-Achse einschließt.

Der erste Schritt besteht darin das Intervall festzulegen in dem die Fläche berechnet wird, dabei gibt es drei Unterscheidungen.

1. Funktion und x-Achse: Berechnen der Nullstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
2. Funktion und Funktion: Berechnen der Schnittstellen wobei die erhaltenen Werte das Intervall bilden
3. Funktion und lim: Das Intervall geht gegen $\lim_{x \to \infty}$

Formeln

• Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und der x-Achse mit dem Intervall [e;f] wobei e und f die Nullstellen der Funktion sind.

$F(x)=\int_{e}^f f(x)\,dx$

• Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und $g(x)=ex^2+f$

Zunächst werden die Schnittstellen h;i berechnet und als Intervall verwendet.Der größere Graph in diesem Intervall wird mit dem kleineren suptraiert.

$F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx$

• Zu beachten ist hierbei das bei Integralen mit mehreren Intervallen, das auch die größe der Funktionen vareieren können so auch bei $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ; $g(x)=ex+f$ und dem Intervall [h;i;j].

$F(x)=\int_{h}^i f(x)-g(x)\,dx+\int_{i}^j g(x)-f(x)\,dx$

Man sollte darauf achten nach dem Integrieren die Flächen zu addieren.

• Gesucht ist der Flächeninhalt wenn das Intervall gegen $\lim_{n \to \infty}$ geht.

$F(x)=\int_{a}^{lim_{x \to \infty}} f(x)\,dx$