3.Abbau radioaktiver Substanzen im Körper

Ein Kontrastmittel, das für Röntgenaufnahmen gespritzt wird, reichert, sich in der Leber an. Dort wird es mit einer Rate abgebaut, die proportional zur vorhandenen Menge des Kontragostmittels belastet. Nach zwei stunden lassen sich noch 0,747 Gr des konstastmittels in der leber nachweisen. A) stellen sie eiene differenzialgleichung für die funktion m(t) auf, welche die masse des kontrastmittels in abhängigkeit von der zeit beschreibt, und lösen sie diese! B) man kann das obige modell verfeinern, indem man annimmt, dass das kontrastmittel über ein gewissen zeitraum hinweg gleichmäßIg über den Blutstrom in die leber gelangt. Pro stunde werden 0,1gr zugeführt. Beschreiben sie diese situation durch eine differenzialgleichung und lösen sie diese. C) als kontastmittel wird das radioaktiveelement jod 131 verwendet, das eine halbwertszeit von 8 tagen besitzt. Bestimmen sie die zerfallskonstante. D) tum zeitpunkt t= 0 ist genau 1mg jod nachweisbar,nach einer gewissen zeit sind es noch 0,298mg. Wie viel zeit ist zwischen den messungen vergangen? E)in einem anfangs leeres gefäß gelangen gleichmäßig 0,1 mg jod pro std. Wie viel jod befindet sich nach 2wochen im gefäß?

Lösungen: A) Sei m(t) die Funktion, die die Masse des Kontrastsmitels zum Zeitpunkt t beschreibt a die Abbaurate. Da nach Voraussetzung die Abbaurate propotional zur Masse ist, gilt also: m'(t)=a*m(t) mit der Lösung m(t)=c*e^{a*t},