Flächenberechnung

Flächeninhalt A zwischen dem Graphen f und der x-Achse

Für den Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse über [a,b] gilt:

$--> A=\int_{a}^{b} f(x)\, dx, falls f(x)\ge0$

$--> A=-\int_{a}^{b} f(x)\, dx$ $falls f(x)\le0$

denn: Das Integral zählt Flächeninhalte oberhalb der x-Achse positiv und unterhalb der x-Achse negativ.

Beispielaufgaben:

Beispiel 1: Fläche oberhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.1.

Lösung: Da $f(x)\ge0$ für $x\in\ [-1,1]$ ist, gilt:

$A=\int_{1-}^{1} x^2\, dx= [\frac{1}{3}x^3] = \frac{1}{3} \cdot 1^3-\frac{1}{3} \cdot (-1)^3= \frac{1}{3}-(-\frac{1}{3})= \frac{2}{3}$

Der Flächeninhalt beträgt $A= \frac{2}{3}$

Beispiel 2: Fläche unterhalb der x-Achse

--> Berechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche in Fig.2.

Lösung: Da $f(x)\le0$ für $x\in\ [-1,3]$ ist, gilt:

$A=-\int_{-1}^{3} -\frac{1}{4}x^2\, dx=\int_{-1}^{3} \frac{1}{4}x^2\, dx= [\frac{1}{12}x^3]= \frac{1}{12} \cdot 3^3-\frac{1}{12} \cdot (-1)^3= -\frac{9}{4}-(-\frac{1}{12})= \frac{7}{3}$

Der Flächeninhalt beträgt A= Der Flächeninhalt beträgt $A= \frac{7}{3}$

Sollte f in [a,b] jedoch sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse verlaufen, so muss man die Inhalte der Teilflächen getrennt berechnen:

1.) Berechnung der Nullstellen von f

2.) Bestimmung des Vorzeichens von f(x) oder ggf. Betragsstriche um die jeweiligen Teilflächen setzen

3.) Berechnung des gesamten Flächeninhalts, indem man die einzelnen Teilflächen miteinander addiert.

Beispielaufgabe:

Beispiel3: Fläche teilweise oberhalb und teilweise unterhalb der x-Achse

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 0,5x^3-2x (Fig.3).

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f und die x-Achse über dem Intervall [-1;2,5] einschließen.

Lösung:

1.) Nullstellen berechnen --> f(x)=0

\begin{matrix} 0,5x^3-2x&=& 0 \\ \ x(0,5x^2-2)& =& 0 \\ \ x=0; 0,5x^2-2& =& 0 \\ \ x=2 und x& =& -2 \end{matrix}