Gebrochene rationale Funktionen.

Defition von gebrochenrationalen Funktionen

Eine gebrochenrationale Funtion ist ein Bruch zweier ganzrationaler Funtionen g(x) und h(x).
Dabei heißt g(x) Zählerfunktion mit dem Zählergrad ZG und h(x) heißt Nennerfunktion mit
dem Nennergrad NG.

Allgemeine Form der Funktion: $f(x) =\frac{g(x)}{h(x)}$ mit dem ganzrationalen Funktionen g(x) und h(x) ( Grad h(x) $\geq$ 1).

Bei einer ganzrationalen ist der Funktionsterm ein Polynom.

Ist z.B. g(x) = $x ^ 3$ + x und $h_1$(x) = $2x^2 -2$, ergibt sich $f(x) =\frac{g(x)}{h_1(x)}$ = $\frac{x^3 + x}{2x^2 - 2}$ = $\frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 - 1)}$.

Diese Art von Funktionen nennt man gebrochenrationale Funktion.

Ist dagegen $h_2$ = $2x^2 + 2$, ergibt sich $i(x)=\frac{g(x)}{h_2(x)}$ = $\frac{x^3 + x}{2x^2 + 2}$ = $\frac{x(x^2 + 1)}{2(x^2 + 1 }$ =$\frac{x}{2}$ .

Durch das Kürzen ändert sich in diesem Fall die Definitionsmende nicht. Es ergibt sich als Nennerpolynom eine Konstante. Die Funktion i ist also ein ganzrationale Funktion.

Damit kann man formulieren:

Eine Funktion f mit $f(x) =\frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1}+ ... + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + ... + b_1 x + b_0}$ , $a_i$ $\in$ $\R$, $b_i$ $\in$ $\R$, $a_n$ $\ne$ 0 , $b_m$ $\ne$ 0, heißt gebrochenrational, wenn diese Darstellung nur mit einem Nennerpolynom möglich ist, dessen Grad mindestens 1 ist.

Falls das Nennerpolynom den Grad 0 hat, ist f eine ganzrationale Funktion.

Definitionsmenge

Nenner = 0 setzen 

y-Achsenabschnitt

x = 0 setzen, f(0)= ... 

Nullstellen und Polstellen

Um einen Überblick über den Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen Funktion f mit $f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}$ zu gewinnen, untersucht man f zunächst auf Nullstellen des Zählers und auf Definitionslücken.

Nullstellen

$p (x_0)$ = 0 und $q (x_O)$ $\ne$ 0

Zähler = 0 setzen 

Beispiel 1:

Bei der Funktion $f(x)=\frac{x-1}{x+2}$ ist an der Stelle $x_0$ = 1 der Zähler null und der Nenner ungleich null. $x_0$ ist die Nullstelle der gebrochenrationalen Funktion f.

Polstelle

$p (x_0)$ $\ne$ 0 und $q (x_O)$ = 0

Nenner = 0 setzen

Beispiel 2:

Bei der Funktion $f(x)=frac{x+2}{x-3}$ ist an der Stelle $x_0$ = 3 der Zähler ungleich null und der Nenner null. $x_0$ ist Pollstelle der der gebrochenrationalen Funktion f.

Hebbare Definitionslücke

$p (x_0)$ = 0 und $q (x_O)$ = 0

Zähler und Nenner = 0

Beispiel 3:

Bei der Funktion $f(x)= \frac{(x+1)(x-2)}{(x+1)^2(x-2)}$ ; D = $\R {-1;2}$

Symmetrie

a) Achsensymmetrie zur y- Achse

Bed. f(-x) = f(x)

b) Punktsymmetrie zum Ursprung

Bed. - f(-x) = f(x)