Kurvendiskussion.

Symmetrie

Punktsymmetrie

$f\!(-x)=-f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind ungerade.

Achsensymmetrie

$f\!(-x)=f(x)$

Alle Exponenten der Funktion sind gerade.

Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten weisen keine Symmetrie auf.

Nullstellen

Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse

$f\!(x)=0$

Ableitung

1. Ableitung $f\!\,'(x)$

$f\!\,'(x_0)$ gibt die Steigung m im Punkt $x_0\!$ an.

2. Ableitung $f\!\,''(x)$

$f\!\,''(x_0)$ gibt die Krümmung von $x_0\!$ an.

Bei positiven Werten handelt es sich dabei um eine Rechtskrümmung, bei negativen Werten, um eine Linkskrümmung.

3. Ableitung $f\!\,'''(x)$

siehe dazu Ableitungsregeln.

Extrempunkte

In Extrempunkten (Hoch- und Tiefpunkten) ist die Steigung m=0, deshalb folgt die notwendige Bedingung $f\!\,'(x)=0$

Die erhaltenen X-Werte setzt man in der hinreichenden Bedingung in die zweite Ableitung ein. $\Rightarrow$

$f\!\,''(x)>0$ hierbei handelt es sich um eine Linkskrümmung, also um ein Minimum (Tiefpunkt).

oder

$f\!\,''(x)<0$ hierbei handelt es sich um eine Rechtskrümmung, also um ein Maximum (Hochpunkt).


Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte.

Wendepunkte

In einem Wendepunkt wechselt die Krümmung zwischen links und rechts. Somit ist die Krümmung, die zweite Ableitung in diesem Punkt = 0.

Notwedige Bedingung

$f\!\,''(x)=0$

Um zu überprüfen, ob es sich wirklich um ein Wendepunkt handelt, muss dazu auch die hinreichende Bedingung erfüllt sein.

Hinreichende Bedingung

$f\!\,''(x)=0 \quad \vee \quad f\!\,'''(x)\not=0$

Setzt man nun die x-Werte in die Funktion $\!f(x)$ ein, erhält man die y-Koordinaten der Hoch- bzw. Tiefpunkte. (Wie bei den Extremwerten)

Sattelpunkt

Bei einem Sattelpunkt handelt es sich um einen besonderen Wendepunkt, da es zu diesem Punkt eine waagerechte Tangente gibt. Somit ist hier die Steigung m=0.

Grenzverhalten

Der Verlauf des Graphen bei unendlich großen bzw. unendlich kleinen x-Werten wird durch das Grenzverhalten beschrieben.

$\lim_{x \to \infty}f(x)$

$\lim_{x \to -\infty}f(x)$